De usandsynlige sandsynligheder
Sandsynligheder kan være svære størrelser. Vi er bange for at flyve, men går over vejen hver eneste dag.
Jeg havde en svigerfar, der hver uge nøje førte statistik over de lottotal, der blev udtrukket. For når et tal ikke havde været udtrukket i mange uger, så var det nok mere sandsynligt, at det blev udtrukket i næste uge. Men desværre har lottokuglerne ingen hukommelse, så de ved ikke, hvor mange gange de er blevet udtrukket!
Og sådan er der mange underfundige sandsynligheder. Matematikken svømmer over af gåder med sandsynligheder, der får folk op af stolene med kommentaren ”Det kan ikke passe”. Fx Monty Hall Problemet: Du kan vælge mellem tre låger, hvor der bag lågerne gemmer sig 1 bil og 2 geder. Du vælger en låge (der ikke åbnes), hvorefter værten åbner en låge, hvor der er en ged. Værten spørger, om du vil skifte dit valg fra den du har valgt til den anden låge, der ikke er åbnet. Det er faktisk en god ide, for derved øger du sandsynligheden for, at du vinder bilen! Faktisk fra 1/3 chance, som var udgangspunktet, til 2/3 chance (se nærmere her).
Problemet er her, at sandsynligheder ikke altid er intuitive – eller med andre ord, man skal ikke altid lade sig forlede af sin intuition, når det kommer til at vurdere, hvad der er mest sandsynligt.
Det er farligt at gå over vejen
Tilsvarende tiltrækker ulykker, der dræber et større antal mennesker, ofte stor opmærksomhed og er med til at skabe en fokus på deres farlighed – såsom flystyrt, terrorisme og togulykker. Men det er ulykker, som generelt er langt mindre sandsynlige end alle de mindre ting, der kan ske i hverdagen.
Der var i Danmark i 2014 flere dræbte fodgængere end dræbte motorcyklister, der ellers ofte regnes for en risikofyldt affære. Og der blev dræbt næsten lige så mange fodgængere som cyklister. OK, tallene er her ikke normaliseret i forhold til antal tilbagelagte km, men det er tydeligt, at det er ganske farligt at gå over gaden i forhold til andet. Og det er i hvert fald klart, at det er langt farligere at gå over gaden eller tage cyklen end at tage på en rejse med fly eller tog.
Lynnedslag og terror er cirka lige farligt
Terrorisme fylder rigtig meget i mediebilledet i øjeblikket, og det er da også et område, hvor der desværre ses et stigende antal dræbte. Det er opgjort, at der i hele verden i 2014 døde omkring 26,000 uskyldige personer gennem terror. Det lyder af rigtig mange. Men det skal sammenlignes med, at der døde lige så mange af slangebid. Og der døde næsten lige så mange af lynnedslag.
Og alle disse dødsårsager såsom terror er stadigvis langt mindre sandsynlige end risikoen ved at færdes i trafikken.
Så min pointe er, at hvis man tør gå over gaden, skal man nok heller ikke være bange for terror, at flyve, lynnedslag og så mange andre af de fænomener, der har en tendens til at fylde meget i mediebilledet.
- emailE-mail
- linkKopier link
...men det er dyrt at lave god journalistik. Derfor beder vi dig overveje at tegne abonnement på Version2.
Digitaliseringen buldrer derudaf, og it-folkene tegner fremtidens Danmark. Derfor er det vigtigere end nogensinde med et kvalificeret bud på, hvordan it bedst kan være med til at udvikle det danske samfund og erhvervsliv.
Og der har aldrig været mere akut brug for en kritisk vagthund, der råber op, når der tages forkerte it-beslutninger.
Den rolle har Version2 indtaget siden 2006 - og det bliver vi ved med.
- Sortér efter chevron_right
- Trådet debat
Og historiske data har betydning for muligheden for et nyt styr eller uheld.
Det er jo på grund af at man har inddraget lære for uheld, at flyvning er så sikkert. Så når et fly er styrtet ned, vil man finde fejlen, og undgå at det samme sker igen.
Derfor har forudgående uheld, indflydelse på sandsynligheden for at det sker et nye. Nemligt at flyvningen er blevet sikrere, på grund af lærende draget af uheld.
Så hvis det faldt et fly ned i går, så er det mere sikkert at flyve i dag. Som eksempel, kan den "usikker" flytype som har været inddraget i uheldet være grounded, indtil årsagen til uheldet er fundet og løst.
Et biluheld i går kan også betyde at sikkerheden er blevet bedre. Enten kan skiltning eller vej forløb blive ændret, eller hastigheden være sat ned. Og i sidste ende kan bilproducenten have lært så meget, at nye biler har bedre passive og aktive sikkerhed. Hvis vi taler de glatføreuheld om efteråret, når der kommer frost, så vil bilister også efterfølgende have lært, at nu er det glat, og måske fået skiftet til Vinterdæk.
Angående spørgsmålet om låger. En anden måde at se "problemet" og hvorfor der dobbelt så stor sandsynlighed for at vinde, hvis man skifter låge når værten viser en ged. Så skal man huske at værten må vide hvor bilen, eller som det mindste, hvor en af gederne er. Når han åbner en låge. Denne viden videregiver han delvis til manden som skal vælge, når han åbner lågen. Det er heller ikke kun 50% chance, når han har åbnet en låge, og dermed kun har givet 2 muligheder for valg, Da man jo har indskrænket værtens mulighed for at vælge vilkårligt de 2 geder vilkårligt, når man har valgt en låge. - Eller lidt kort, hvis man har valgt en låge med en ged, så kan værten kun åbne lågen med den anden ged. Og det øger sandsynligheden til de 2/3 ,for at den sidste lågen må gemme bilen.
PS MHP computer eksperiment som randomiserer beslutningen om at blive eller flytte i array dannet ved differencen mellem set og oprindeligt.
I stayed 499520 times, and won 166308 times I moved 500480 times, and won 333947 times
Jeg er lige faldet over denne gamle artikel og er efter nogen overraskelse blevet overbevist om strategien med at skifte dør virkelig holder vand, og det gør den ved gennemregning også for større antal døre omend fordelen gradvist bliver mindre.
Det interessante er i poker, hvor alt jo koges ned til optimerende spilstrategier og held, kan man måske finde en lille fordel på følgende måde i et 2-personers spil:
Når kortene deles rundt venter du med at tage dine egne op før modstanderen har set sine. Du gætter på et eller and par ud af alle mulige.
Når dine egne samles op gætter du på noget andet, uanset hvilke du selv får - bare noget andet end første gæt.
Når de første 3 kort ses på floppet gætter du igen på noget nyt uanset hvilke kort på floppet
OSV.
Selvfølgelig kun som en subtil detalje og ikke til at ignorere hvorledes modstanderen spiller og agerer iøvrigt. Mekanikken skulle være god nok - absurd nok.
@ Finn, Tauno
Tabellen er fin, men jeg synes, den mangler den forklaring, der fik mig til indse logikken - efter at have læst de 2 links: " Inddel dørene i 2 grupper: G1: den dør, som vælges i første omgang med 1/3 gevinst sandsynlighed. G2 består af de andre (2) døre med en samlet P(bil) = 1/3+1/3. Når værten åbner døre uden gevinst, 'opererer' vi kun indenfor G2 med den tilførte information. Hvis bilen tilhører G2 (2/3) og den ikke er bag værtens dør(e), er den bag den sidste dør med 100% sikkerhed (betinget sandsynlighed - Baye's rule). Så sandsynligheden for gevinsten bag de resterende døre i G2 akkumuleres efterhånden som mulige udfald i G2 'skrumper'. " Så et skift i strategi øger chancen fra 1/3 til 2/3 - eller generelt (N-1)/N. Derimod, en person som kun 'ser' 2. halvdel af quizzen, vil sige 50/50. Men selv her vil et skifte af strategi, ikke forringe chancerne for gevinst.
PS: 50/50 i 'Hvem vil være millionær' er jo reelt en 100% rigtig svar udvælgelse, hvis man blot kan udpege eet forkert svar blandt de 4 mulige svar. Hvis man vælger den åbenbare forkerte svar og lader komputeren fjerne yderligere 2 forkerte svar, er der kun det rigtige svar tilbage. Skift strategi!. Men det kræver, at man bevidst vælger det forkerte svar (imod al sund fornuft / intuition) i første omgang når man bruger denne livline. Til gengæld er den 100% 'vandtæt'.
Sådan havde min logik det også. Jeg så på det sidste valg, hvor der jo stadig er 50% chance med et tilfældigt valg. Men i første valg har du kun 1% chance for at ramme og så er der 99% chance for at bilen er bag en af de andre låger - og når så værten fjerner de 98.... Det var netop terninger jeg brugte - tre styk til de tre låger og en til at vælge tilfældigt med. Men jeg er jo heller ikke gud :-)
Jeg så et andet sted (youtube kommentarer?) argumentationen udvidet til at omfatte 100 døre, 99 geder og 1 bil - alt andet uændret - dvs. værten afslører de 98 geder efter at du har valgt. Følger man ovenstående ræsonnement, og skifter til den anden dør med 99% gevinst chance!!
Kan det mon os' pas' ? Her står min logik af.
PS: undrer mig lidt over at ingen har refereret til Kvantemekanik og kollaps af bølgefunktionen ("probability-amplitude ") ved afsløringen af "værtens geder". PPS: Einstein påstod jo at "Gud spiller ikke med terninger".
Måske fik jeg ikke udtryk det tydeligt nok. Jeg gik fejl i ikke at anderkende betydningen af første valg - holdt fast i fifty-fifty anden gang. Det har flere vist skrevet. Men jeg skriver for andre, der ikke har gjort forsøget.
Så fik jeg gjort forsøget - og er blevet klogere. Første valg giver 2/3 chance for ged - værten skal i disse tilfælde fjerne den anden ged og nu er det i disse 2/3 tilfælde kun bilen som ikke er udpeget - derfor skal man skifte for at opnå 2/3 vinder chance. I 1/3 af tilfældene vil det lige så sikkert gå galt at skifte. Ved at foretage et tilfældigt valg mellem de resterende låger vil vinder chancen blive 1/2.
Men ja, 2/3 er at foretrække. Så strategien er, at man har 2/3 chance for at vælge ged og det skal man søge at ændre.
Tak for hjælpen.
@Tauno Jeg ved ikke om det hjælper på forståelsen, men nedenstående tabel har hjulpet mig med at forklare sammenhængen til andre der ikke umiddelbart kunne se hvorfor det giver mening at skifte dør efter værten har åbnet en dør med en ged bagved.
Dør Bil/Ged Sandsynlighed Valg Sandsynlighed Valg Bil/Ged Sandsynlighed 1 ? 1/3 Dit 1/3 ? 1/3 2 ? 1/3 \ ? 2/3 > 2/3 3 ? 1/3 / Vært GedDer er 1/3 sandsynlighed for at der er en bil bag hver af de 3 døre. Efter man har valgt en dør er der stadigvæk 1/3 sandsynlighed for at bilen er bagved den valgte dør, men der 2/3 sandsynlighed for at bilen er bagved en af de 2 andre døre. Nu vælger værten at åbne den ene af de 2 andre døre og bagved den dør værten åbner er der en ged. Der stadigvæk 2/3 sandsynlighed for at bilen er bagved de 2 andre døre, men nu ved vi hvilken en af dem det ikke er og derfor er der 2/3 sandsynlighed for at bilen er bagved den dør værten ikke åbnede. Jeg håber det hjælper.
@Tauno
Opgaven er at lokalisere gederne - og ved man, hvor gederne er, er det ikke svært at vælge bilen.
Dit første (og reelt eneste) valg vil med 2/3 sandsynlighed resultere i en ged. At værten efterfølgende åbner en låge med en ged bag ændrer ikke denne sandsynlighed. Du har altså med 2/3 sandsynlighed valgt en ged og ved 100%, hvor der ikke er en bil. Ergo ............
Du skal udføre forsøget som i noten kl. 16:48 fra anden april. Den følger opgavebeskrivelsen tæt.Så nu forstår jeg hverken resultatet eller hvordan jeg skal udføre forsøget :-(
...går lige og tænker på hvad jeg skal bruge til de tre døre i opstillingen. Så går der lidt ingeniør i mig. Hvorfor ikke bare nøjes med to, når jeg alligevel bare skal vende en som "kendt" - den kan jeg godt abstrahere mig til.
@Hans Dybkjær. Det er netop det, jeg ikke lige forstår. Hvorfor slås 3,4,5,6 sammen og ikke 1,2,3 og 4,5,6 ? 1,2 er jo nøjagtig lige så kendt/ukendt som 3,4 ? Jo, jeg ved at der en bil/ged bag den først valgte. Det gælder vel også den resterende, som jeg ikke har valgt ? Den sidste (værtens valg) er vi enige om er en ged.
Så nu forstår jeg hverken resultatet eller hvordan jeg skal udføre forsøget :-(
Det virker lidt som jeg misforstår opgaven.
To låger betyder ikke at der er 50% sandsynlighed for hver af dem. Antag en ny quiz hvor der er to døre og værten placerer en bil bag en tilfældig af dem. Nu skal du gætte: du har 50-50 chance. Men nu fortæller værten dig at han lavede det tilfældige valg ved at slå med en terning, og lod 1,2 -> dør A, mens 3,4,5,6 -> dør B. I den situation er det forhåbentligt klart du bør vælge B?kun ser to lukkede låger
Det ligner meget det oprindelige problem: Der var tre døre, A,B,C. 33% chance for hver af dem. Men forløbet har gjort at B,C er slået sammen til en dobbeltdør, du ved der er en ged, men der kunne gemme sig en bil. Så nu har du valget mellem A (33%) eller B,C (2*33%).
Tauno, lav nu det forsøg! Du skal kun slå med terningen én gang pr. iteration (for at placere bilen), og så vælge låge nr. 1. Tæl op hvor mange gange du vinder bilen ved at fastholde låge 1, og hvor mange gange du vinder ved at vælge om, og vælge den låge der er tilbage efter værten har afsløret en ged bag låge nr. 2 eller 3.
Hvis du insisterer på at vælge en tilfældig låge hver gang (i stedet for nr. 1) skal du lave to terningkast pr. iteration, men det ændrer ikke på udfaldet.
Nej, det er nok her jeg...... Problemet et nok, at jeg kun ser to lukkede låger efter værten har åbnet en.
Find gederne - så ved du, hvor bilen er.
Er du enig i, at du med 2/3 sandsynlighed ved, hvor gederne er, efter at værten har afsløret en ged?
Altså, at min chance automatisk øges fra 1/3 til 1/2
Undskyld, at jeg er lidt tungnem. Men jeg har ikke lige fanget hvorfor udfaldsrummet ikke automatisk bliver reduceret ti 2 muligheder, når værten åbner netop en ged.
Du vælger i 2/3 af tilfældene en ged, hvorefter værten afslører den anden ged. Du ved altså i 2/3 af tilfældene præcis hvor bilen er
Så har jeg da forstået lidt :-) Så skal jeg bare have fat i hvordan jeg kan vide at "anden låge" har 2/3 chance. Altså, vi har samme situation, hvor jeg har 1/2 og 2/3 chance. Forskellen er om jeg holder hånden i lommen eller ikke ?
Hvis du insisterer på at slå med en mønt anden gang, er chancen 1/2, 50%. Men så har du snydt dig selv, for hvis du altid vælger værtens dør anden gang, er chancen 2/3.Altså, tilfældigt valgt låge.
Ja, jeg skal lege med mine børnebørn. Men anden runde: Hvorfor kan jeg ikke bare lukke øjnene, tænke på min dejlige kone og starte på en frisk ?
Altså, tilfældigt valgt låge.
@Kim Bygum Er chancen for at vinde så 50% ?
@Michael Weber Jooeee, men er tiden med mig ?
Korrekt. Men det er kun første valg der er tilfældigt.
Mja ... det er sådan set kun bilens placering der er tilfældig (ukendt). Det er DIG der vælger, og det ændrer ikke noget hvis du altid vælger dør 1 først.
Det er implicit givet, at værten placerer bilen bag en af de tre døre med lige stor sandsynlighed (1/3).
Det er i øvrigt også ligegyldigt, hvilken dør værten vælger at åbne, hvis begge de lukkede døre er geder.
"Når man har valgt første gang, har værten kun 2 låger at vælge i mellem. Hvis du har valgt galt i første omgang, og ikke har valgt bilen, så kan han kun åbne den forkerte låge, men hvis ikke så han kun mulighed for at fjerne en falsk låge for dig. Det betyder at sansynligheden for at den anden låge er mere rigtige, i anden valg. Da den jo er "testet" ikke forkert en gang, det er den låge du selv har holdt på i første omgang ikke."
...hvis jeg havde lidt benzin penge, ville jeg køre ned og vække et par af mine børnebørn :-) Jeg har nok ikke ret, men jeg kan ikke se
- hvordan kan værtens valg påvirke mit valg ? 2)værten fjerner en ged. Det er en information, der øger min chance fra 1/3 til 1/2 Hvorfor til 2/3 ? Jeg kan ikke se, hvorfor første valg ikke fører til en ny situation med to låger - bil/ged uden yderligere information. Værten laver det set-up. Han "fjerner" en ged.
Du forklarer fint :-) Men da jeg lærte sandsynlighedsregning i ½ 70-erne, var kilden til alle fejl lange forklaringer. Dog, så er jeg sikker på at vi kun fik "lette" opgaver.
Men, altså, lange forklaringer ok....Meeenn.
Hvis jeg skal prøve at være kritisk, så kan jeg ikke komme til:"Det betyder at sansynligheden for at den anden låge er mere rigtige, i anden valg. Da den jo er "testet" ikke forkert en gang"
Jo, vi kommer fra tre låger til to låger.
Der er en afhængehed mellem det første og det andet valg. Som gør sansynligheden for at vinde større, ved at vælge en anden låge. .
Når man har valgt første gang, har værten kun 2 låger at vælge i mellem. Hvis du har valgt galt i første omgang, og ikke har valgt bilen, så kan han kun åbne den forkerte låge, men hvis ikke så han kun mulighed for at fjerne en falsk låge for dig. Det betyder at sansynligheden for at den anden låge er mere rigtige, i anden valg. Da den jo er "testet" ikke forkert en gang, det er den låge du selv har holdt på i første omgang ikke. Derfor er det bedre at vælge en låge som værten ikke vil (kan) vælge.
...det er en og kun en stokastisk proces efterfulgt af en manipulation...
Rent intuitivt vil de fleste nok opfatte, at på et tidspunkt træffer man et valg, tiden går og man får resultatet hvorefter man så - på et nyt tidspunkt - står i en ny situation.
Så når du skriver: ...det er en og kun en stokastisk proces efterfulgt af en manipulation...
Så er det måske lidt som at sige at der er kun et tidspunkt...og efter det tidspunkt laves en manipulation, men man er stadig på det oprindelige tidspunkt. Altså efter et tidspunkt er man stadig på samme tidspunkt. Så jeg tror det er tiden, der er problemet - sådan forståelsesmæssigt set. Nu er det jo heller ikke voldsomt intuitivt, at tiden står stille mens den går. :)
Korrekt. Men det er kun første valg der er tilfældigt. Hvis du ser i forsøgsbeskrivelsen, er strategien i trin iv ikke tilfældig. Jeg har på forhånd formuleret, inden værten overhovedet placerer bilen, at jeg altid vil vælge værtens dør. Det er altså to forskellige slags valg. Der står ikke i opgaven at du er tvunget til at kast en mønt anden gang.som jeg forstod opgaven, så kan man vælge om i anden runde
Prøv at regne på sandsynlighederne som om der i opgaven stod at du anden gang altid får værtens dør, altså at der ikke er noget andet valg. Sandsynlighedsmæssigt er det helt ækvivalent med at jeg udnytter mit frie andet valg til altid at vælge værtens dør.
Det er lidt som et trylleshow. Værtens eliminering af en gadedør og værtens nye spørgsmål tjener begge mest til at bortlede opmærksomheden fra at din oprindelige sandsynlighed for en gededør var og er 1/3 (for at du kan få 2/3 chance for bil ved at skifte, er det dog nødvendigt at værten udpeger det eneste andet sted bilen kunne være).
Mine børnebørn har ikke været på besøg endnu. Så jeg er stadig ikke blevet "klog" Men som jeg forstod opgaven, så kan man vælge om i anden runde ?
Tauno, på det tidspunkt du vælger en dør er der 1/3 sandsynlig for at du vælger den med bilen. Uanset hvad viden du får efterfølgende er valget sket, og sandsynligheden for at du HAR VALGT bilen er for altid 1/3. Også selv om du får åbnet alle dørene
Det er det, jeg ikke lige kan se.. Der kommer en information i mellem.
En har foreslået at spille med åbne kort. Hvad med lukkede kort ? - så er vi vel alle enige om fitty-fifty ?
Hvis du stadig har svært ved at acceptere, at det er en og kun en stokastisk proces efterfulgt af en manipulation, kan det måske hjælpe, at se på sandsynligheden for, at vores ven ender med en ged i stedet.
Bag den først valgte dør være der være en ged i 2/3 af alle tilfælde. Og det gælder uanset hvilke manipulationer, der efterfølgende sker i den anden gruppe.
I den anden gruppe vil der kun være en ged bag den tilbageværende dør, hvis begge geder i første omgang var endt bag de to døre. Og det gør de kun i 1/3 af tilfældene.
Men du skal ikke skamme dig. Faktisk begår matematisk institut ved KU samme fejl som dig, selv om de ender med det rigtige resultat. For de ser det heller ikke klart som en stokastisk proces efterfulgt af en manipulation, og deres regnestykke bliver dermed al for besværligt, som jeg tidligere viste med en variant med 8 døre og 2 biler.
.
@Kim Bygum Sært - men genkendeligt. Indsigt kan gøre det svært at designe testen. Det der virker logisk for dig....og for mig i forgårs.... Men jeg er enig. Og håber jeg lærer af det.
øhhh, glem det sidste.."En har foreslået at spille med åbne kort. Hvad med lukkede kort ? - så er vi vel alle enige om fitty-fifty ?" Det vil kun ødelægge jeres gode oplysning.
"Derfor må der tilsvarende være 1/3 chance for...." Det er det, jeg ikke lige kan se.. Der kommer en information i mellem. En har foreslået at spille med åbne kort. Hvad med lukkede kort ? - så er vi vel alle enige om fitty-fifty ?
...en afhængighed mellem første og anden runde ? - som jeg ikke kan se.
Tænk på, hvad vi ved om den anden låge, efter at værten har afsløret en ged:
- hvis vi tilfældigvis har valgt lågen med bilen til at starte med, så ved vi, at der er en ged bag den anden låge (for vi har jo bilen, og derfor er der kun geder tilbage).
- hvis vi tilfældigvis har valgt en låge med en ged, så ved vi, at der er en bil bag den anden låge (for vi har jo den ene ged bag vores låge, og værten har lige vist os den anden ged).
Eller med andre ord, uanset at vi ikke ved, hvad vi valgte, så ved vi, at der altid er det modsatte bag den anden låge (når værten har afsløret en ged).
Vi ved også, at der er 1/3 chance for, at vi valgte lågen med bilen, og 2/3 for at vi valgte en ged. Derfor må der tilsvarende være 1/3 chance for, at der er det modsatte af en bil bag den anden låge, og 2/3 chance for det modsatte af en ged.
Eller 1/3 chance for en bil bag den låge, vi startede med at vælge, og 2/3 for en bil bag den anden.
...en afhængighed mellem første og anden runde ? - som jeg ikke kan se. Hvilken ? - Altså frem i tiden fra første valg. Det er vist "Dit første valg har bestemt" jeg ikke forstår (endnu ?)
"opgavebeskrivelsen". - Umiddelbart, tror jeg det er her hunden ligger begravet. ---altså, at jeg har misforstået.
Men det må vel fremgå af mine spørgsmål ?
Så, nej ? til "det er her hunden ligger begravet." ...ser det komme: Hvordan skal jeg tolke ja/nej...
..-her lørdag aften... "sandsynlighederne er ikke ligeligt fordelte efter processen. Dit første valg har bestemt at der med 2/3 sandsynlighed er en ged bag din dør, og det ændrer sig ikke" Hvorfor ikke ?, når jeg nu får at vide..... "Schrödingers ged." bjergged ? - Nej, jeg er kun amatør :-)
Jeg må være irriterende...., men jeg forstår stadig ikke hvordan de to sidste døre kan huske foregående hændelser
"opgavebeskrivelsen". - Umiddelbart, tror jeg det er her hunden ligger begravet.
Det er rigtigt at der er to muligheder, men sandsynlighederne er ikke ligeligt fordelte efter processen. Dit første valg har bestemt at der med 2/3 sandynlighed er en ged bag din dør, og det ændrer sig ikke. Der bliver ikke flyttet rundt på geden, det er ikke Schrödingers ged. Bemærk i algoritmen ovenfor at i trin iv vælger man, i overensstemmelse med opgavebeskrivelsen, ikke tilfældigt, men altid, dvs. 100%, den anden dør. Derved er det kun de 2/3 fra det tidligere og eneste tilfældige valg der påvirker gevinstfordelingen.Som jeg læser det, så gives valget mellem to muligheder: Den låge du valgte først eller den der nu er tilbage.
Her er en udgave af min forståelse:
"Jeg har to børn, det ene er en dreng født på en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge."
Tak for forklaring, som jeg vist må tygge lidt på ;-)
Det bliver en leg, når børnebørn kommer på besøg. Min sandsynlighedsregning er fra 3.g i 74/75. Det var noget med logik og hvis det gik højt: komplementær mængden.
Men jeg forstår stadig ikke, at det ikke kan forklares, så der går en prås op for mig :-(
"Nej. Det er præcis der din argumentation fejler. Anden gang bliver du ikke bedt om at slå med en terning igen, men ..."
Jo, jeg har fuld respekt for virkeligheden - at prøve. Men vil hellere forstå.
Hvorfor er der ikke noget "terningekast" i anden runde ? - og det er vel her jeg ikke forstår, at der holdes fast i 1/3 chance.
Som jeg læser det, så gives valget mellem to muligheder: Den låge du valgte først eller den der nu er tilbage. Er det forkert ? - for så vil en simulering nok også fejle.
Ja, for her er netop indført et nyt, tilfældigt valg, hvad der ikke er i den oprindelige formulering.Mere interessant er det hvis værten ikke alene kender placeringen af bilen og de to geder, men også kan rykke rundt på dem, inden han afslører en ged. Her har du ikke nogen fordel eller ulempe ved at skifte -- værten kan lige så vel have flyttet bilen til din dør som fra den. Men din chance er nu 1/2, uanset om du skifter eller beholder dit valg.
Nej. Det er præcis der din argumentation fejler. Anden gang bliver du ikke bedt om at slå med en terning igen, men om at overveje om du vil holde fast i din 1/3 chance-dør, eller om du vil skifte til den anden dør. Der er kun et terningekast (dvs. 1 stokastisk proces), og det er når du vælger første gang, mellem tre døre.Der er kun én stokastisk proces". Er det ikke også det jeg argumenter for - nemlig den sidste med to muligheder ?
Men prøv dog. Prøv 1000 gange, så lang tid tager det ikke: (i) Placer bil, ged og ged i tre positioner a,b,c Brug samme placering hver gang, eller byt dem tilfældigt rundt. Det er ligemeget, terningekastet i næste skridt gør det fair tilfældigt. (ii) Slå med en terning: 1,2 -> a, 3,4 -> b, 5,6 -> c Dette er dit første og tilfældige valg. (iii) Fjern en ged fra en af de positioner du ikke valgte, det er værtens tvungne trin. (iv) Vælg nu den anden, tilbageværende position, dvs. den som hverken blev udpeget af terningen i trin ii eller fjernet af værten i trin iii. (v) Tæl en op hvis du peger på en bil.
Du vil få mindst 600 biler i de 1000 forsøg. Allerede ved 100 forsøg er det 93% sikkert at du har over 60 biler.
Et sådant forsøg forklarer selvfølgelig ikke hvorfor de 2/3 er korrekt, men sandsynliggør forhåbentlig at de er. Du er velkommen til at lave din egen formulering af algoritmen og lave forsøget. Hvis du får et andet resultat, kan vi sammenligne algoritmerne og se hvor forskellen er.
I det oprindelige MHP er det givet, at værten ved, hvor bilen er, så han uanset dit valg kan vælge en dør med en ged. Men det er faktisk ikke nødvendigt.
Lad os antage, at værten ikke kender indholdet af dørene, men alligevel åbner en dør, og der viser sig at være en ged bag. Lad os se på mulighederne:
Dit første valg var bilen (1/3 af de mulige valg): Du taber, hvis du skifter dør.
Dit første valg var en ged (2/3 af de mulige valg). Du vinder, hvis du skifter dør, for værten har elimineret den anden ged som valgmulighed.
Så det gælder stadig, at du (med arbitrært førstevalg) ændrer din chance fra 1/3 til 2/3 ved at skifte dør. Man kan også sige, at det er ligegyldigt om værten kender placeringen af bilen, det er det faktum, at han afslører en ged, der er afgørende.
Hvis værten afslører en bil, skal du selvfølgelig skifte, dag det øer din gevinstchance til 100%. Så uanset om værten er vidende, og uanset, hvad han afslører, så kan det betale sig at skifte.
Men betyder det så, at du skal skifte, selv om du ikke ved hvad, der er bad den dør, som værten åbner? Vi har jo lige set, at det i begge tilfælde kan betale sig at skifte.
Men nej. Hvis værten åbnede døren med bilen, skulle du jo vælge denne dør, og hvis han åbnede for en ged, skulle du vælge den anden. Så hvis du ikke ved, hvad der er bag døren, har du ikke grundlag for at vælge. I begge tilfælde findes et vag, der vil forbedre din chance, men i begge tilfælde vil det andet valg forværre den. Så du kan lige så godt fastholde dit valg -- din chance vil være 1/3 uanset.
Mere interessant er det hvis værten ikke alene kender placeringen af bilen og de to geder, men også kan rykke rundt på dem, inden han afslører en ged. Her har du ikke nogen fordel eller ulempe ved at skifte -- værten kan lige så vel have flyttet bilen til din dør som fra den. Men din chance er nu 1/2, uanset om du skifter eller beholder dit valg.
Mit spørgsmål går egentlig ikke på om selve ugedagen har betydning, men på om man ikke skal være meget varsom med hvad man anvender det til i praksis? idet resultatet er afhængig af, hvorledes opgaven stilles - i det ene tilfælde udelades det faktum at drengen er født på en af ugens dage og kan man det?
"MEN hvis du havde blevet og valgt om hver gang, ville du have vundet alle de gange du tabte, dvs. to trediedele." Jo, men jeg kender jo ikke udfaldet før mit næste valg.
"Der er kun én stokastisk proces". Er det ikke også det jeg argumenter for - nemlig den sidste med to muligheder ?
I eksemplet der nævnes i kommentartråden med de to børn hvoraf en er en dreng født på en tirsdag, er der angivet at uden informationen om at drengen er født på en tirsdag er sandsynligheden 1/3 for at det andet barn også er en dreng.
Er det nu også korrekt? Idet vi jo ved at barnet er født på en eller anden ugedag, det kan jo ikke være anderledes. Så ændre informationen om at det er en tirsdag noget?
Sandsynligheden er den samme (13/27), uanset hvilken ugedag du får oplyst. Hvis du prøver at regne sammen (med betinget sandsynlig) of alle ugedagen får du netop den oprindelige sandsynlighed på 1/3.
Hvis du i stedet for at vide at han er født den 1. december er sandsynligheden meget tættere på 1/2.
Hvis du får at vide at han har været statsminister er den MEGET tæt på 1/2 (den bliver 1/2 hvis der ikke er nogle familier med to drenge som begge har været statsminister).
Kik efter de gamle tråde på ing.dk.
Jeg har desværre aldrig lært sandsynlighedsregning og måske er det derfor jeg stiller følgende spørgsmål. I eksemplet der nævnes i kommentartråden med de to børn hvoraf en er en dreng født på en tirsdag, er der angivet at uden informationen om at drengen er født på en tirsdag er sandsynligheden 1/3 for at det andet barn også er en dreng. Er det nu også korrekt? Idet vi jo ved at barnet er født på en eller anden ugedag, det kan jo ikke være anderledes. Så ændre informationen om at det er en tirsdag noget? Og er det ikke et eksempel på at man skal være varsom med, hvad man konkludere ud fra sådanne beregninger?
@Kim Bygum
Ingen af de to resterende låger åbnes. Hvordan kan du så se, at netop den "ikke valgte" overtager sandsynligheden fra den værten valgte ?
Sandsynlighed er ikke svært, men man skal ikke lade sig forlede af sin intuition. Den overtager sandsynligheden fordi du har fastsat den første dør til 1/3 da du valgte den.
OK, lad os prøve på den her måde.
Du deltager mange gange i en konkurrence, hvor du skal vælge mellem tre døre. Bag den ene er en bil. Du vælger tilfældigt hver gang.
Efter valget går du hjem og får besked pr. brev om gevinsten
Jeg håber vi er enige om, at du vil vinde ca. en trediedel af gangene.
Senere får du at vide, at værten hver gang (efter du går hjem) har afsløret en ged bag en af de andre døre.
Jeg håber vi er enige om, at det ikke ændrer på din gevinstandel på 1/3.
Desuden sagde værten, at hvis du var blevet ville du have fået lov at vælge om.
Jeg håber vi er enige om, at det ikke ændrer på din gevinstandel på 1/3.
MEN hvis du havde blevet og valgt om hver gang, ville du have vundet alle de gange du tabte, dvs. to trediedele.
Enig?
(Og tirsdagsopgaven er også korrekt, men den gider jeg ikke diskutere mere ...)
Det sjove ved det er, at matematisk institut sådan set også tager fejl, selv om de med en unødig besværlig metode når frem til det korrekte resultat.
Der er kun én stokastisk proces, nemlig fordelingen af gevinster og nitter bag dørene. Det forhold, at man efterfølgende fjerner en nitte fra den ene gruppe er ikke en stokastisk proces, men blot en indskrænkning af gruppen.
Lad os nu sige, at der var 8 døre og 2 gevinster.
Så vil sandsynligheden for gevinst bag den førstvalgte være 1/4 eller 6/24 og hver af de 7 øvrige ville have en gevinstchance på 1/4. Når en nitte fjernes blandt de 7 stiger dette til 1/4 *7/6 = 7/24.
Med matematisk instituts tilgang, kan man godt bruge resten af dagen til at nå frem til det.
https://www.math.ku.dk/uddannelser/laes/vidstedu/montyhall/
Så ikke alene er statistik ikke altid intuitivt forståelig for mange. Eksperters vurderinger er heller ikke altid den let forståelige og rigtigste version.
En anden formulering: Hvordan skal jeg forstå, at spillet ikke først starter når brikkerne er lagt på plads ?