Det var en gang sidst i det forrige århundrede, de fleste af os sad lidt med en fornemmelse af ikke helt at vide, hvad vi nu skulle bruge det til.
Dengang gik man ikke særligt højt op i, hvorvidt undervisning nu var motiverende eller ej, ej heller om den tid børnene investerede i læringen reelt kunne betale sig. I matematiktimerne forklarede man os dengang...
... men i virkeligheden er der i mands minde næppe nogen, der har gjort det.
Det, man i praksis bruger cosinus m. venner til, er at beskrive cirkelformede bevægelser: cos(t) og sin(t) er respektive x- og y-koordinater for et punkt, der har bevæget sig t længdeenheder på enhedscirklen. Helt lavpraktisk kan man f.eks. få brug for det, hvis man vil lave et program, der viser tiden på en urskive.
Ved at lege lidt med linjerne 7 og 8 i koden får man en god, praktisk forståelse af parametrene i formlen C + A·cos(ωt + φ):
* amplituden A: visernes længde
* frekvensen ω: hvor hurtigt drejer viserne rundt (den store drejer 12 gange hurtigere rundt end den lille) ¹
* fasen φ: hvor viserne starter deres bevægelse (kl. 12 er ved -90°)
* offsettet C: urskivens midte
Lidt mindre lavpraktisk kan man også bruge konceptet til at skabe forståelse omkring signaler, frekvenser og frekvensspektre. Det kan dreje sig om lydsignaler, lysbølger, elektrisk vekselstrøm og meget mere.
Og børn synes, at Fourier-spektre er en fest, se f.eks. spektret for en f-dur akkord på vores klaver nedenfor:
Læs også: P5 - tekstbaseret, visuel programmering for børn
Man kan også i den sammenhæng lære børnene om (lavpas)filtre, f.eks. ved at spille en højfrekvent tone: børnene vil holde sig for ørerne i smerte, mens de (fleste) voksne end ikke vil ænse, at der sker noget. Meget morsomt!
... noget med ax + b og sånt. Det er ikke som sådan helt forkert, men til gengæld noget af en underspilning af funktionsbegrebets vigtighed.
Anlægger man derimod perspektivet, at funktioner er den grundlæggende byggesten til at modellere - den abstrakte tænknings schweizerkniv så at sige, får de en helt anden status. En funktion associerer et output med et input, hverken mere eller mindre. Når man har formuleret sin funktion, sin model, har man fundet det, der var relevant, og sorteret det fra, der var irrelevant. Det kan være næsten ufatteligt nyttigt:
Derfra kan man begynde at se sammenhænge, forudsige forløb og hændelser, sammenligne det forudsete med det målte, kæde funktioner sammen, forstå hvad der foregår, handle intelligent, tilpasse og forbedre, dele sin forståelse med andre.
Inden for naturvidenskaberne er begrebet allestedsnærværende. Fysikerne refererer ofte til begrebet som operatorer.
Større organisationer lader sig næppe drive uden den slags værktøjer i dag. I business-sprog genfinder man funktioner under betegnelsen processer.
Et rigtigt godt værktøj til at introducere funktionsbegrebet til selv mindre børn (4+) er Function Builder. I eksemplet nedenfor har vi valgt en funktion, der udfører en spejling:
Selv praktiserer vi også en funktions-tegn-og-gæt-leg, f.eks. "hvis input er ... et brød, og output er ... brødskiver, så er funktionen nok ... en kniv!"
... og kan så alligevel ikke rigtig bruges til noget, erindrer de fleste, der lærte om dem i gymnasiet. Det, der skulle have været det gyldne højdepunkt efter 13 års pinefulde matematiktimer på skolebænken - åbenbaringen - endte for de fleste som det totale antiklimaks.
Men det er i virkeligheden ret enkelt: når man først har formuleret sin model vha. funktioner, vil man gerne vide, hvordan den opfører sig under forskellige omstændigheder (input). De interessante modeller er ofte så komplekse, at man ikke bare lige kan udregne det med en formel - man er nødt til at udregne resultatet i små bidder ad gangen. Disse små forskellige bidder (differenser) lægger man sammen (integrerer) for at opnå det endelige resultat, nutildags som regel vha. en computer.
I den sammenhæng er den klassiske Euler metode fra et pædagogisk synspunkt ganske velegnet, og kan bruges fra ca. 6 år og op, se 1. ordens-eksemplet x' = ±v nedenfor²:
I eksemplet er skyens hastighed v konstant indtil skyen kommer tilpas langt til højre, hvorefter hastigheden skifter fortegn (-v) indtil skyen kommer tilpas langt til venstre, hvorefter den skifter fortegn og så fremdeles. I hver beregningsiteration lægges v (differensen Δx) til positionen x for at opnå den nye position ³.
De lidt ældre kan bruge fremgangsmåden til at løse reelt relevante problemstillinger, som f.eks. at udregne rejsetiden til Mars for et rumskib:
Og så er der selvfølgelig den til stadighed relevante bonusbommert, denne gang af lidt mere tværfaglig natur: Rundt om i rigets børnehaver er det populært at lære de lidt større børn alfabetet, gerne med leg og sang. Skoleklar skal de være, de kære små! Børn og voksne synger højt i kor "28 skal der stå, på din mo-ars sto-ar-tå!", med reference til antallet af bogstaver i alfabetet.
Men det er forkert.
Det korrekte tal er 29. Der er simpelthen 29 bogstaver i det danske alfabet!
Til V2s læsere: Har I selv oplevet, at (matematik)undervisningen kunne have været mere relevant? Eller situationer, hvor det bare fungerede og gav mening?
Fodnoter:
¹ ω hedder faktisk vinkelfrekvens. Sammenhængen mellem frekvens f og vinkelfrekvens er ω=2πf.
² Stringent betragtet er eksemplet x' = ±v ikke en differentialligning, da der ikke findes en funktion f, således at x'=f(x), i og med at x' kan være lig med -1 og 1 for samme værdi af x. Bevægelsen ville kræve en 2. ordens ligning og brugen af et par delta-funktioner, som vist i den flyvende gris (kode). Som man ofte vil gøre det i eksempler fra det virkelige liv, "snyder" vi her en smule, eller rettere bruger en forenklende smutvej ved at anvende en variabel v, der indeholder den ekstra information, der er nødvendig for at beskrive systemet.
³ Skulle forklaringen have været helt korrekt, skulle vi have nævnt, at man ganger et lille tidsinterval Δt på v for at få Δx, og her er Δt altså lig med 1.
Tak for indlægget - gode eksempler på nyttiggørelse af programmering og forståelse af matematiske begreber. De ryger videre til min datter i 7. klasse, som gerne vil finde ud af hvad man egentlig bruger det der sinus og cosinus til :)
Jeg var vanvittig glad for min matematik i både folkeskolen og gymnasiet. Som bygningsingeniør bruger man sin og cos hele tiden, til bestemmelse af sidelængder, og når man kender funktionen bruges den meget ofte i privatlivet. Din opfattelse af funktionen er ligeledes meget mangelfuld. Du syntes det eneste relevante er et punkt på kurven. For at få en dybere forståelse af et problem er punktet næsten ligegyldigt, idet det er variationen, der er det interessante. Altså om problemet følger en lineær-, eksponential- hyperbolsk kurve osv. Differentialregning bruger man til et hav af løsninger når man læser videre, men grundforståelsen kan bruges uden matematik til daglige iagttagelser, hvor det skærper ens opmærksomhed på at ændringen kan være nok så vigtig som det absolutte punkt. Ja, kort fortalt syntes jeg altså det er noget vås fra ende til anden det du skriver. Computer beregning af grafer og funktioner er fantastiske, men de efterlader nemt elever med en manglende matematisk grundforståelse. Derfor skal de indføres så sent som muligt, men så er det ikke så nemt at fremvise forbløffende resultater for forældre som ikke kender programmerne. ?
Folkeskolen underviser alle elever. Både dem, der skal have lange naturvidenskabelige uddannelser, dem, der skal ud og arbejde med deres hænder og dem, der kun magter overskuelige udfordringer. Trigonometriske funktioner er flyttet ned fra gymnasiet til folkeskolen, så at fokusere her på konkrete og håndtérbare anvendelser, giver da god mening. Dem, som kommer på de lange natfag-udd, skal såmænd nok få udvidet deres horisont på et tidspunkt.
Mht. alfabetet, er vi helt enige
Martin Kristensen rammer lidt ned i problemets kerne synes jeg. Han er ingeniør; jeg har altid betragtet især gymnasiets matematikundervisning, men også folkeskolens, som værende rettet mod et bestemt mål: Ingeniøruddannelsen! Det gælder både emnevalg og didaktik. Didaktikken har Nicholas behandlet, så jeg vil komme med et eksempel på et emne der er valgt fra. Jeg har en clockradio. Når jeg skal tænde for den, skal jeg trykke en gang på den relevante knap. Skal jeg derefter slukke for den, skal jeg trykke tre gange på den samme knap. Dette fordi 1+3≡0 (mod 4), hvilket bringer os tilbage til den oprindelige, slukkede tilstand. Min gamle clockradio havde flere tilstande, der skulle man regne modulo 5, osv. Urskiven i sig selv er også et eksempel på modulær aritmetik.
I dag må der siges at være så mange discipliner hvor matematikken kan bruges, at en differentiering (!) kunne være en idé. Lad ingeniørerne læse om de emner de hele tiden har gjort, og lad andre læse andre ting.
Jeg var engang på en spejderlejr, hvor vi en eftermiddag fik til opgave at estimere arealet af en nærliggende græsplæne.
Græsplænen var tilnærmelsesvis 7-kantet, hvilket ikke gjorde opmålingen nem.
Når man ikke har et målebånd, men udelukkende et kompas og ens fødder til at måle med, så bliver det ret udfordrende at måle området op.
Jeg fik da brugt både cosinus og sinus en hel del, men mit holds resultat kom temmelig tæt på det officielle tal (+/- 2 m^2)
Jeg synes der skal være mere fokus på områder som algebra og mængdelære, i stedet for analyse og geometri, som dominerer i dag. Jeg tror at læring om strukturer og grundlæggende spørgsmål om matematikkens væsen gør mere for elevernes hoveder end at udregne arealer og volumener.
Mvh Tania
Det vigtigt at læse artiklens indlednig, som sætter fokus på gamle dages didaktik - lidt i kontrast til vores tid og unge nu.
Hvor man netop i gamle dage, og for en langt mindre gruppe børn og unge i den boglige uddannelse, kun sige SKAL og banke det ind i mange hoveder, så gælder det slet ikke længere (hvis det nogensinde har været gældende eller bare tålt).
Enhver med minimal forståelse for didaktik vil vide hvor store indlæringsfordele der kan opnås ved at bruge forståelse og praktiske eksempler som motivation. Den gode underviser sætter sig ind i elevens univers og baserer sig på tilsvarende eksempler. Vel gennemført, så kan eleverne ekstrapolere til andre anvendelser.
Mit yndlingseksempel er min gudbenådede kemilærer fra gymnasiet, som skulle motivere og introducere titrering. Hertil medbragte han en (gammel) glasflaske (overtrukket med salt) fra sommerens badeferie ved Vesterhavet (sagde han ihvertfald). Vi skal nu bestemme havets indhold af salt ..... Se, det husker jeg 60 år senere.
Og så er der lige solskyggen på terrassen som kan forklare brug af trigonometriske funktioner (og tabeller som blev brugt dengang).
Hvis ikke en elev er motiveret og engageret i SIT univers, så bliver det gammeldags kadaver-indlæring på 1864-soldater-niveau.
Jeg er ikke lærer, men har undervist voksne næsten hele mit liv. Det er en dejlig, stor og spændende udfordring - og det kan gøres 1864-niveau eller på et moderne 2018-niveau.
P.S.: Hvorfor går elevernes resultater i læsning så tilbage ? De gider ikke FORDI ingen har motiveret og forklaret dem, at den virkelige verden er andet end tre linier på Facebook og Snapchat. I den forbindelse er det så indledningsvis ligegyldigt HVAD de læser - bare de læser. Harry Potter er bedre end Facebook.
Det man bruger matematik til hedder fysik. Der læres vist ikke matematik i skolen overhovedet. For mig var det store øjeblik i matematik timen da vi lærte om aktiomer i gymnasiet, Det hele minder lidt om at spørge hvad kan man bruge skak til. Svaret er vel nærmest ikke noget. Men det er da næsten lige så underholdende som matematik. Mon ikke problemet er undervisningen? Jeg lektiehjælper gymnasie elever og må ustandselig undres over hvordan det er muligt at eleven kan være så uvidende som de er. Er de opvokset på en fremmed planet? De har ofte en sund nysgerrighed , men ingen har fortalt om matematik historie eller anvendelser. Differentialregning ? Hvad kan det bruges til? Er det ikke bare spild af tid? Når man så forklarer at det bare er fundamentet for hele vores civilisation så er de helt paf. Det har de aldrig hørt.
De ryger videre til min datter i 7. klasse, som gerne vil finde ud af hvad man egentlig bruger det der sinus og cosinus til :)
I fald det fænger, kan du evt. også vise hende, hvordan cosinus-bølger med forskellig frekvens og amplitude kan sammensættes til et vilkårligt signal, f.eks. en firkantpuls.
Er det virkelig spændende og meningsfuldt for en pige i 7. klasse at få at vide at man kan opløse en funktion i en sum af sin og cos funktioner?
Husk endelig at fortælle at det kun gælder funktioner som eksisterer i et Hilbert rum og hvis kvadrat er Lebesque integrable.
Er det virkelig spændende og meningsfuldt for en pige i 7. klasse at få at vide at man kan opløse en funktion i en sum af sin og cos funktioner?
Helt klart ja.
Det understøtter forståelsen af, at et signal består af forskellige frekvenser. Det vil hun opleve som f.eks. bas vs. diskant indenfor musik, eller kanter vs. homogene flader i et billede, eller klorofylens ikke-blå og ikke-røde farve, eller de infrarøde strålers rolle i drivhuseffekten osv. osv. osv.
At kunne abstrahere omkring rytmer, bølger og svningninger er ufatteligt nyttigt. Og det væsentligt tidligere end 7. klasse.
Efter at have læst de senere kommentarer: - jeg tror nogle "elever" (dvs. fra 0 klasse til pHd) kan og vil tilegne sig viden og færdigheder (e.g. matematik, fysik, kemi og andet) som teori og abstraktion, og derfra kunne ekstrapolere til deres egne anvendelser. Analogien med skak er god: nogle kan lære regler og grundtræk, ogf udvikle sig til hobby-spillere, professionelle spille eller skak-genier). - jeg tror andre "elever" skal have viden og færdigheder i en referenceramme (hvad kan det bruges til ?), hvorefter de kan ekstrapolere til egene anvendelser. - jeg tror også der er "elever" som bare ikke kan eller vil tilegne sig viden og færdigheder. Det er didaktisk interessant hvorfor ? De er næppe dumme - de har sikkert een eller anden blokering e.g. "det kan jeg ikke finde ud af" ...... Nogle, ældre, læsere husker måske at der indtil 1960'erne eksisterede et begreb i folkeskolen kaldet "pigeregning" - tænk lige over det !
God didaktik rammer alle "elever"; måske vil nogen kede sig, og andre stritte imod. Derfor kan god undervisning starte med: "Har I tænkt over ....." eller "Hvordan tror I man kan .....".
Men kunne I så efterfølgende bruge det tal til noget?
Tja...
Vi kunne tegne et forholdsvis målfast kort over den del af lejren, fordi vi kender retning og afstand til forskellige træer og andre ting i og omkring græsplænen. :-)
At finde arealet af en græsplænen er relativt trivielt, når man først har tegnet et kort over hele området. :-)
Helt enig i din vurdering. En samling subjektiv, negativ prosa om helt grundlæggende matematiske koncepter som alle bør kende.
Fint at du tager tingene ned i børnehøjde. Men det er ikke helt nok. Jeg bruger ofte de trigonometriske funktioner i hverdagen fordi de sidder på ryggraden. Men at tage udgangspunkt i (x,y) i en enhedscirkel er fint. Man skal så bare senere lære at flytte det over på en trekant med vilkårlige mål.
Differentiale er for mig hældningen på kurven / ændringshastighed på funktionens output omkring et givent punkt. Man kan differentiere, men for kurver (hov, nu antager jeg en funktion giver en graf) der er nogenlunde regulære omkring det spændende punkt, så kan man bare udregne det lineært fra 2-3 målepunkter. Det er i praksis ofte fint, omend ikke altid matematisk præcist. Og denne metode kan anvendes for funktioner der ikke lader sig differentiere - Eksempelvis dem udenfor matematikken.
Integrere har været at finde arealet under kurven. Dette har jeg ikke brugt i det virkelige liv. Men ofte kan en lineær tilnærmelse også anvendes. Men i praksis anvendes den vel i stedet for til arealberegning til at finde en funktion der har den rigtige ændringshastighed i det ønskede område.
For det er vigtigt at huske på, i den virkelige verden, er man ofte interesserest i funktioner for et givent input og/eller output-interval. Man er sjældent interesseret i hvordan tingene opfører sig ved helt skøre værdier.
Der er ingen der regner på benzinforbruget på en bil ved 2000 km/t, såfremt man laver en anden gearing. Typisk vil en formel for benzinforbrug derfor kun skulle være valid fra 0-200 km/t, og for nogle biler måske op til 500 km/t.
Men det er forståelse for matematikken og dens uendelige nøjagtighed der giver mig mulighed for at simplificere og tage valg på et informeret grundlag. Og for benzinforbrug er dette kombineret med fysik, som jo netop er kombinationen af matematik med observationer og målepunkter.
Integrere har været at finde arealet under kurven. Dette har jeg ikke brugt i det virkelige liv. Men ofte kan en lineær tilnærmelse også anvendes. Men i praksis anvendes den vel i stedet for til arealberegning til at finde en funktion der har den rigtige ændringshastighed i det ønskede område.
Præcis. Overflade- og arealberegninger er reelt set et forsvindende lille anvendelsområde for integralregning. Som en af de andre debatører lidt bombastisk skriver, er værktøjet nok nærmere "fundamentet for hele vores civilisation".
Derfor kan man også lige så godt introducere det i form af numerisk integration for børnene, såsnart de har begrebsapparatet på plads til det - som eksemplerne illustrerer i en alder af ca. 7.
Hvis de så synes det er spændende, kan de jo ved lejlighed tage skridtet videre til symbolsk infinitesimalregning.
