De usandsynlige sandsynligheder

Sandsynligheder kan være svære størrelser. Vi er bange for at flyve, men går over vejen hver eneste dag.

Jeg havde en svigerfar, der hver uge nøje førte statistik over de lottotal, der blev udtrukket. For når et tal ikke havde været udtrukket i mange uger, så var det nok mere sandsynligt, at det blev udtrukket i næste uge. Men desværre har lottokuglerne ingen hukommelse, så de ved ikke, hvor mange gange de er blevet udtrukket!

Og sådan er der mange underfundige sandsynligheder. Matematikken svømmer over af gåder med sandsynligheder, der får folk op af stolene med kommentaren ”Det kan ikke passe”. Fx Monty Hall Problemet: Du kan vælge mellem tre låger, hvor der bag lågerne gemmer sig 1 bil og 2 geder. Du vælger en låge (der ikke åbnes), hvorefter værten åbner en låge, hvor der er en ged. Værten spørger, om du vil skifte dit valg fra den du har valgt til den anden låge, der ikke er åbnet. Det er faktisk en god ide, for derved øger du sandsynligheden for, at du vinder bilen! Faktisk fra 1/3 chance, som var udgangspunktet, til 2/3 chance (se nærmere her).

Problemet er her, at sandsynligheder ikke altid er intuitive – eller med andre ord, man skal ikke altid lade sig forlede af sin intuition, når det kommer til at vurdere, hvad der er mest sandsynligt.

Det er farligt at gå over vejen

Tilsvarende tiltrækker ulykker, der dræber et større antal mennesker, ofte stor opmærksomhed og er med til at skabe en fokus på deres farlighed – såsom flystyrt, terrorisme og togulykker. Men det er ulykker, som generelt er langt mindre sandsynlige end alle de mindre ting, der kan ske i hverdagen.

Der var i Danmark i 2014 flere dræbte fodgængere end dræbte motorcyklister, der ellers ofte regnes for en risikofyldt affære. Og der blev dræbt næsten lige så mange fodgængere som cyklister. OK, tallene er her ikke normaliseret i forhold til antal tilbagelagte km, men det er tydeligt, at det er ganske farligt at gå over gaden i forhold til andet. Og det er i hvert fald klart, at det er langt farligere at gå over gaden eller tage cyklen end at tage på en rejse med fly eller tog.

Lynnedslag og terror er cirka lige farligt

Terrorisme fylder rigtig meget i mediebilledet i øjeblikket, og det er da også et område, hvor der desværre ses et stigende antal dræbte. Det er opgjort, at der i hele verden i 2014 døde omkring 26,000 uskyldige personer gennem terror. Det lyder af rigtig mange. Men det skal sammenlignes med, at der døde lige så mange af slangebid. Og der døde næsten lige så mange af lynnedslag.

Og alle disse dødsårsager såsom terror er stadigvis langt mindre sandsynlige end risikoen ved at færdes i trafikken.

Så min pointe er, at hvis man tør gå over gaden, skal man nok heller ikke være bange for terror, at flyve, lynnedslag og så mange andre af de fænomener, der har en tendens til at fylde meget i mediebilledet.

Per Andersens billede
Per blogger om digital transformation - teknologi, forretning og ledelse.

Kommentarer (133)

Gordon Flemming Blogger

Men desværre har lottokuglerne ingen hukommelse, så de ved ikke, hvor mange gange de er blevet udtrukket!

Men det har lynnedslag, flystyrt, terrorisme og andre trafikulykker jo heller ikke?

Claus Juul

Det jeg læser på div. MHP sider, tager udgangspunkt i noget forkert som jeg ser det.
Ved at fasthold den dør, i anden runde, man startede med at vælge i første runde, så vælger man "bare" den samme dør igen.

Som jeg ser det, nå man gør sit valg i anden runde (om det er den samme eller den anden dør), har du altid 50% chance for at vinde, og det er kun valget i anden runde der tæller, dit valg i første runde, har ingen betydning for om du vinder eller ej.

Maciej Szeliga

Sandsynligheden for om noget hænder er vildledende hvis man ikke lige indregner sandsynligheden for at overleve ulykken.
Det er muligt at fly er sikre men dødeligheden er 99,9% hvis det sker i luften...
Sandsynligheden for tog er langt dårligere til gengæld er overlevelsen over 90%

Per Andersen Blogger

Jov, det gør den nu nok. Fra starten er der 1/3 sandsynlighed for at bilen er bag enhver af dørene. Men når værten åbner en dør og der viser sig at være en ged, så ændrer sandsynlighedsbilledet sig. Jeg har godt nok læst statistik, men må nok her støtte mig til beregningerne foretaget af endnu klogere folk jf. linket.

Det er klassisk, at det er svært at håndtere betingede sandsynligheder som denne - altså "givet at værten åbner en dør og der er en ged bag denne". Det er her - som sagt - at intuitionen ikke længere holder, hvilket også kommentarerne viser :-)

Men bare rolig. Der er endnu mere bizarre eksempler på dette. Vi kan nok blive enige om, at hvis jeg har to børn og den ene er en dreng, så er sandsynligheden for at jeg har to drenge 1/3 (der er 3 lige sandsynlige scenarier - DD, DP og PD). Men hvis jeg siger, at jeg har to børn hvor den ene er en dreng født på en tirsdag - hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge? Hvis du mener at det stadig er 1/3 snyder din intuition dig igen!! Læs: http://ing.dk/artikel/simpel-matematikopgave-gav-laeserstorm-109315.

Jeg turde ikke skrive denne i den oprindelige blog, da jeg ved at 95% af læserne vil nægte at tro på det :-)

Jonas Høgh

Det holder fint vand. For mig faldt 10-øren da jeg læste følgende passage fra wikipedia:

Vos Savant suggests that the solution will be more intuitive with 1,000,000 doors rather than 3. In this case there are 999,999 doors with goats behind them and one door with a prize. After the player picks a door the host opens all but 1 of the remaining doors. On average, in 999,999 times out of 1,000,000, the remaining door will contain the prize. Intuitively, the player should ask how likely is it, that given a million doors, he or she managed to pick the right one initially.

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

Troels Tolstrup

Det er nu ret nemt at vise at den holder i praksis uden brug af fancy matematik , men ved blot at stille de forskellige scenarier op:

Hvis du vælger at holde fast i den først valgte dør:
Du vælger bilen: Du vinder
Du vælger ged 1: Du taber
Du vælger ged 2: Du taber

Så hvis du holder fast i den første dør har du 1/3 chance for at vinde.

Hvis du vælger at skifte dør (den nævnte dør er den først valgte):
Du vælger bilen: Du taber
Du vælger ged 1: Du vinder
Du vælger ged 2: Du vinder

Altså 2/3 chance for at vinde

Per Andersen Blogger

Der er i beregningerne taget højde for dette - der regnes alene med sandsynligheden for at omkomme ud fra, hvor mange der omkommer (uanset, om der er "klumper" eller ej).

Gordon Flemming Blogger

Sådan som jeg læser det du har skrevet, så har du lige netop sagt det. Og nu parafraserer jeg lige:

Lotto: Man kan ikke regne sandsynligheden ud for at et tal bliver udtrukket næste gang, på baggrund af historisk data.

Alt andet: Man kan godt regne sandsynligheden ud for at en hændelse (lynnedslag, flystyrt, terrorisme og andre trafikulykker ) sker på et bestemt tidspunkt, på baggrund af historisk data.

Er det korrekt forstået af mig? eller kan du omformulere din påstand så jeg kan forstå den?

Per Andersen Blogger

@Gordon - ok kan se, hvad du mener. Ved Lotto antager man, at maskinen udtrækker numrene med lige stor sandsynlighed. Dvs. man har kendte sandsynligheder for den såkaldte stokastiske variabel, nemlig 1/(antal numre) for hvert nummer. Det er den fremtidige sandsynlighed uanset hvad der er sket i historien.

Hvis vi ikke havde den antagelse - kendt sandsynlighedsfordeling - hvad også er tilfældet med fly, så måtte vi lave 1 mio. trækninger af numre for at komme med en vurdering af, hvor sandsynligt hvert nummer er for at blive trukket. Hvis kuglerne er skæve var der måske større sandsynlighed for nummer 1 i forhold til nummer 2. Det kan man ikke beregne, det er man nødt til at empiriske data for at finde.

Tilsvarende med fly. Der gennemfører man i princippet millioner af forsøg hvert år og så ser vi, hvor mange fly, der falder ned. Ud fra dette beregner vi en sandsynlighed.

I ingen af tilfældene har det nogen indflydelse, om en hændelse lige er truffet. Hvis 1 lige er udtrukket er der stadig samme sandsynlighed for, at 1 bliver trukket næste gang - også med skæve kugler. Hvis et fly faldt ned i går ændrer det ikke sandsynligheden for, at et fly falder ned i morgen (med mindre der er sammenhæng, fx sabotage - det er en anden form for beregning).

Det kan godt være, at hvis der over en periode begynder at falde mange fly ned, at man er nødt til at revidere sandsynligheden. Det handler om, at forudsætningerne ændres. Det samme er tilfældet, hvis man over mange udtrækninger ser en skæv fordeling af numrene - så er man nødt til at få checket udstyret, for så er det ikke sikkert antagelsen om sandsynlighedsfordelingen holder.

Jonas Høgh

En anden grundlæggende forskel er, at de fleste matematisk udfordrede personer, som forsøger at forudsige lottotal, som Per også skriver, antager at tal, der ikke har været udtrukket i lang tid "snart burde blive trukket". Det er helt omvendt, og svarer til at du læser i ulykkesstatistikken, at der er styrtet 42 gange så mange fly ned i Afrika som i Europa de sidste 10 år, og derfor undlader at flyve til Spanien, fordi "nu må der snart styrte nogle europæiske fly ned".

Torben Mogensen Blogger

En anden historie om sandsynligheder: En mand bliver stoppet i sikkerhedskontrollen med en bombe. Han bedyrer, at det er for at øge hans sikkerhed, for sandsynligheden for, at der er to bomber på flyet er meget mindre end sandsynligheden for, at der er én bombe. Og da han ikke har i sinde at sprænge sin egen bombe, har han dermed forbedret sin (og de andre passagerers) sikkerhed ved at mindske sandsynligheden for, at der findes en bombe udover hans egen på flyet.

De fleste kan nok indse, at tankegangen er absurd, for hans bombe kan ikke på nogen tænkelig måde have indflydelse på, hvad andre bringer om bord på flyet. Men ræsonnementer af samme slags laves ofte i mindre oplagte tilfælde. Mange glemmer netop at skelne mellem afhængige (betingede) og uafhængige sandsynligheder. Det gælder også MHP: Her er sandsynligheden for gevinst ved andet valg netop betinget af værtens handling (at åbne en dør, der med sikkerhed ikke har gevinst) og er derfor anderledes end sandsynligheden ved første valg (som grundet manglende a priori information må være 1/3).

Ved Lotto og terningkast er der en a priori antagelse om ligevægtig og uafhængig sandsynlighed, som betyder, at man ikke kan bruge historien til at forudse fremtidige hændelser med bedre nøjagtighed end forudsigelser lavet uden historie.

Hvis vi dropper antagelsen om, at sandsynlighederne er ligevægtige, men bibeholder antagelsen om uafhængighed (altså at næste uges trækning eller næste terningekast ikke afhænger af tidligere udfald) kan man statistisk opbygge et estimat for fremtidige sandsynligheder, som giver udfald, der er forekommet flere gange end andre, en større sandsynlighed end andre. Dette er modsat det tidligere eksempel, hvor den naive lottospiller antager, at tal, der forekommer hyppigt i fortiden er mindre sandsynlige i fremtiden -- en antagelse, der bygger på en forventning om en form for retfærdighed i stil med "Nu har jeg været uheldig mange gange, så nu må mine chancer være blevet bedre". Desværre forholder det sig omvendt: Hvis du har været uheldig længe er det bedste, du kan håbe, samme succeschancer som alle andre, og i værste fald, at dit "held" vedbliver at være dårligt, fordi du rent faktisk foretager ukloge valg.

For eksempel tippede min far altid en række med kun ettaller, for han mente, at den kombination var så usandsynlig, at den måtte give en kæmpegevinst, hvis den kom ud. Men kombinationen er (uden kendskab til holdenes indbyrdes styrkeforhold) faktisk den mest sandsynlige af alle (da hjemmebanesejr er det mest almindelige udfald), hvilket taler til hans fordel. Til gengæld afhænger gevinsten ikke af sandsynligheden for udfaldet, men af hvor mange andre, der har samme kombination. Og der skal ikke mange til med samme tankegang, før gevinsten bliver overordentligt lille.

Per Andersen Blogger

@Gordon. Selvfølgelig kan man opstille en statistisk model, bl.a. der hvor der er en kendt sandsynlighedsfordeling. Det er netop det, jeg skriver om. I andre tilfælde er det meget svært at opstille en model - fx for om et fly falder ned, og det skyldes bl.a. kaosteorien.

Men det var ikke det, der var dit spørgsmål. Det var om man kunne forudsige fremtidige hændelser ud fra, hvad der lige er hændt. Det har jeg svaret på.

Torben Mogensen Blogger

Så efter din mening, så er den korrekte ikke-udfordrede matematiske antagelse "fordi et tal lige er blevet udtrukket, så burde det blive trukket igen"?

Hvis du ikke har en a priori antagelse om de enkelte tals indbyrdes sandsynligheder, så vil tal, der er trukket ofte, formentlig også blive trukket ofte i fremtiden. Lige netop Lotto (og terninger) er designet for at sikre så ensartet sandsynlighed som mulig, men fysiske unøjagtigheder i udformningen af kugler og terninger vil betyde, at der er ganske små forskelle, der gør at visse udfald er marginalt mere sandsynlige end andre. Så derfor er det en marginal fordel at spille på udfald, der er forekommet ofte i fortiden. Fordelen er ekstremt lille (da forskellene er meget små), og væsentligt (med flere størrelsesordenener) mindre end den fordel, som Lotto sikrer sig selv ved at beholde noget af indsatsen inden uddeling af gevinster.

Så den bedste strategi i Lotto er at lade være med at spille, men hvis du spiller om øl med en ven ved at I hver vælger et tal, og den hvis tal først kommer op på terningen, giver næste omgang, så kan det svare sig at vælge det tal, der har vist sig færrest gange indtil nu. Men med mindre terningen er vægtet, er fordelen ekstremt lille.

Modsat gælder det i kortspil: Et kort, der ikke er trukket endnu, vil have større chance for at blive trukket end et, der er trukket allerede (indtil bunken bliver blandet igen). Derfor blander kasinoer i reglen længe inden bunken er nået igennem, og i f.eks. Black Jack består bunken af flere sammenblandede sæt, så chancen for at trække et es ikke ændres nær så markant, når der allerede er trukket et es. de har nøje regnet på, at den indbyggede fordel til dealeren er større end en eventuel fordel, som en korttæller vil have ved at huske kort -- til trods for hvad film som f.eks. Rain Man vil have os til at tro: Du kan forbedre din chance ved at tælle kort (og derfor er det ikke velset fra kasinoet side), men du vil ikke forbedre dine chancer til at blive bedre end kasinoets.

Torben Mogensen Blogger

Hvis man vil vide noget om sandsynligheder for fremtidige hændelser, så skal man snakke med aktuarer (forsikringsmatematikere). Forsikringsselskaber er vældigt interesserede i dette, så de kan regne på deres økonomi. For ting, der sker ofte, er det ikke så svært: Hvis man har tal på antal indbrud i et givet postnummer fordelt på villaer, rækkehuse, stuelejligheder, osv, så kan man forholdsvist nemt estimere risikoen for en given kunde, for der er (desværre) et stort statistisk grundlag.

Det er straks sværere at forudsige sandsynligheden for ting, der ikke endnu er sket, f.eks. at der inden for de næste 10 år kommer en storm, der laver dobbelt så store samlede skader som Bodil. Men selv det kan aktuarer regne på ved at se på fordelingen af størrelsesordenen af tidligere storme. Men det kan blive meget kompliceret, og der vil altid være en stor usikkerhed i estimatet.

Gordon Flemming Blogger

Per,

Det er netop det, jeg skriver om. I andre tilfælde er det meget svært at opstille en model - fx for om et fly falder ned, og det skyldes bl.a. kaosteorien.

Ikke desto mindre påstår du at sandsynligheden for at omkomme ved et flystyrt er mindre, end ved at at krydse en hvilken som helst vej.

Så hvordan er du kommet frem til den konklusion?

Torben Mogensen Blogger

Ikke desto mindre påstår du at sandsynligheden for at omkomme ved et flystyrt er mindre, end ved at at krydse en hvilken som helst vej.

Så hvordan er du kommet frem til den konklusion?

Her bruger man antagelsen om, at fremtiden ligner fortiden. Så hvis fortiden siger, at flere er døde ved at krydse en vej end ved flyuheld, så gælder det nok også i fremtiden. Der er rimeligt gode statistikker over fortidens dødsfald, så hvis antagelsen om at fremtiden ligner fortiden er rimelig, så kan man sagtens bruge disse tal. Hvis man dropper antagelsen, kan man prøve at se på trends: Er antallet af dødsfald ved fly stigende eller faldende? Ditto for krydsning af veje? Dermed kan man (i al fald på kort sigt) stadig forudsige noget om fremtidige sandsynligheder.

Så, hvis denne forudsigelse siger, at der er større chance for at dø, mens man krydser en vej, en ved et flyuheld, og hvis du krydser veje nogenlunde lige så mange gange som gennemsnittet, og flyver nogenlunde lige så mange gange som gennemsnittet, så er din chance for at dø, mens du krydser vejen, nok større end din chance for at dø i et flyuheld.

Du kan selvfølgelig påvirke denne chance: Hvis du aldrig flyver, er din chance for at dø i et flyuheld væsentligt formindsket (men ikke helt 0, for du kan få et fly i hovedet), og hvis du ikke ser dig for, når du krydser en vej, så øges din chance for at dø betragteligt.

Der kan selvfølgelig ske ting, der betyder, at fremtiden ikke ligner fortiden: Hvis alle biler er selvkørende og har gode kollisionsdetektorer og undvigelsesprogrammer, så falder chance for at dø ved krydsning af vej nok væsentligt, og hvis der ikke sker lignende forbedringer i flysikkerhed, kan det godt skifte til, at du har større chance for at dø ved flyuheld end ved krydsning af vej.

Torben Mogensen Blogger

Så det er der det gamle munheld »Lynet slår sjældent ned to gange samme sted« stammer fra?

Dette mundheld er forlængst modbevist: http://stormhighway.com/lightning_never_strikes_the_same_place_twice_myt...

Lige som den samme lottokugle kan blive udtrukket flere gange i træk?

Det kan den sagtens (med mindre du mener flere gange i samme udtrækning, hvilket er fysisk umuligt, da de ikke bliver lagt tilbage før næste udtrækning). Chancen for at mindst et tal går igen ved to på hinanden følgende trækninger er faktisk ret stor: Lad os antage, at kuglerne har ens sandsynlighed, lad os droppe tillægstallene, kun se på de 7 "almindelige" tal, og lad os se på chancen for, at der ikke er gengangere fra en trækning til den næste. Der er i alt 36 kugler med forskellige tal, så første kugle har 29/36 dele chance for at være forskellig fra sidste træknings numre. Givet dette har næste kugle 28/35 chance for ikke at matche et af de 7 "gamle" tal, osv. Så chancen for, at der ikke er nogen gengangere er 29/36 × 28/35 × 27/34 × ... × 23/30 = 7866331200/42072307200 = 0.186971709504916. Så chancen for mindst en genganger er 1-0.186971709504916 = 0.813028290495084, altså lidt over 81%.

Det betyder dog (under antagelse af, at kuglerne har ens sandsynlighed) ikke, at du vinder oftere ved kun at spille på gengangertal, for chancen for at alle 7 tal er gengangere fra sidste trækning er ikke større end chancen for enhver anden kombination. Men hvis du mener, at der kan være forskel på de enkelte kugler sandsynlighed (på grund af små vægtforskelle m.m.), så skal du spille på de tal, der er forekommet hyppigst i fortiden.

Gordon Flemming Blogger

Torben,

Det er pænt af dig at du tager mig i hånden og forklarer mig pædagogisk om sandsynlighedsteori, jeg er sikker på at det må være en erhvervsskade (ment positivt) men det er lidt uinteressant for mig, fordi:

  1. Jeg allerede kender til den folkelige populære sandsynlighedsteori.
  2. Jeg allerede ved hvordan din logik hænger sammen, og at der ikke kan rokkes ved den.
  3. Jeg var egentlig mere interesseret i Per's ræsonnement, for at skrive det som han skriver, og finde ud af hvad han egentlig mener og hvor han vil hen med det.
Per Andersen Blogger

Nå, det virkede nu også på mig som du ikke rigtig forstår basale sandsynligheder, men du er måske bare troll. Der er ikke tale om personlig logik, men en videnskab (statistik) der er underbygget empirisk.

Men for at afslutte mine kommentarer havde jeg to pointer, som jeg synes var ret tydelige (men kommunikation er en svær ting):
- man skal passe på ikke (kun) at bruge intuition når det kommer til sandsynligheder
- at simple ting som at færdes som fodgænger er forbundet med væsentlig større risiko end at flyve eller terror

Gordon Flemming Blogger

Per,

Nå, det virkede nu også på mig som du ikke rigtig forstår basale sandsynligheder, men du er måske bare troll.

Du har ret, det er jo det mest naturlige i verdenen at først antage at jeg er en ignorant, og hvis jeg ikke er en ignorant, så må jeg bestemt være en troll.

Eller det kunne jo være at jeg vidste noget som du ikke ved, og at du burde spørge lidt ind til det som du ikke forstår. Men den tanke har åbenbart slet ikke strejfet dig.

Jeg skal nok lade være med at plage dig og Torben med mine barnlige og dumme spørgsmål, undskyld endnu engang for min ubetydelige eksistens, jeg er ikke jeres opmærksomhed værdig. undskyld. undskyld.

Mogens Bluhme

Daniel Kahneman fik som psykolog nobelprisen i økonomi i 2002 ved at påvise hvordan intuition snyder os til at foretage suboptimale valg. I hans værk "Thinking, Fast and Slow", får man stort set en aha-oplevelse på hver anden side med valg, hvor folk vælger forkert. Især har vi tilbøjeligheder til falske causal-hypoteser. Tilfældighed har vi tilsyneladende svært ved at forstå - vi vil hele tiden teoretisere og "ane" sammenhænge.

Et eksempel giver han med pilotkadetterne i det israelske luftvåben. Her konkluderede instruktørerne, at skældud virker og ros virker ikke. Det blev begrundet i :

1) den pilot, som udførte en perfekt landing fik ros - hans næste landing blev bare dårligere..

2) den pilot, som udførte en dårlig landing fik skældud - hans næste landing blev bedre.

Problemet er, at den første var bare heldig og den anden uheldig.

Bias'en er en overseelse af det, der hedder regression mod gennemsnittet af ydertilfælde.

Statistik og sandsynlighedsregning er for lumsk til at vi kan stole på vores intuition.

Poul-Henning Kamp Blogger

Man kan da også godt argumentere for at lottotallene heller ikke er tilfældige

Lottotallene har man gjort sig utroligt umage for at gøre tilfældige mens de omtalte uheldsituationer emperisk er alt andet end tilfældige.

Du er velkommen til at argumentere alt det du vil, men hvis du ikke bygger det på nogle fakta der peger modsat er det bare studentikos tidsspilde...

Gordon Flemming Blogger

Poul-Henning,

Lottotallene har man gjort sig utroligt umage for at gøre tilfældige mens de omtalte uheldsituationer emperisk er alt andet end tilfældige.

Du er velkommen til at argumentere alt det du vil, men hvis du ikke bygger det på nogle fakta der peger modsat er det bare studentikos tidsspilde...

Det er jo det der er så charmerende ved at diskutere med radikaliserede fanatiske matematiske ekstremister som dig, i kridter selv hjemmebanen op, opstiller spilleregler til jeres egen fordel - og først derefter tør i invitere modargumenter.

Bjørn Engsig

Man kan som regel altid få dem, der hovedsageligt bruger intuition, til at reagere ved at sige "jeg spiller altid på tallene 1 2 3 4 5 6 7 i lotto". Det typiske svar er "jamen, den kombination er da HELT usandsynlig". Thja, den er præcis lige så (u-)sandsynlig som enhver anden kombination.

Gordon Flemming Blogger

Torben,

Jeg tvivler meget på, at PHK regner sig selv som en radikaliseret matematisk ekstremist. Det gør flertallet af os andre heller ikke.

Der er jo ikke vigtigt hvad i selv synes om jer selv, det er vigtigere hvad andre synes, og helst mange andre. Er det ikke osse sådan jeres "videnskabelige" peer-review fungerer?

I kommer over som rigide gamle nisser, der end ikke kunne åbne op for muligheden for at verdenen kunne se anderledes ud, end det i er blevet pumpet med siden folkeskolen.

Poul-Henning Kamp Blogger

I kommer over som rigide gamle nisser, der end ikke kunne åbne op for muligheden for at verdenen kunne se anderledes ud, end det i blevet pumpet med siden folkeskolen.

Og du kommer over som en AFR parodi der er overbevist om at togskinner kan holde 10 år længere hvis man siger i et bestemt tonefald at "nu må de lige tage sig sammen".

Du er velkommen til at have dine egne meninger Gordon, men du har ingen ret til at have dine egne fakta.

At du mener at trafikuheld og flysstyrt er tilfældige forandrer ikke en tøddel på at vi har et statistisk datamateriale om begge dele der siger det præcis modsatte.

F.eks er EU's "banlist" over flyselskaber baseret på at de har væsentlig flere problemer og uheld end andre flyselskaber. Det ville ikke give mening hvis flyuheld var tilfældige begivenheder.

Gordon Flemming Blogger

Poul-Henning,

Og du kommer over som en AFR parodi der er overbevist om at togskinner kan holde 10 år længere hvis man siger i et bestemt tonefald at "nu må de lige tage sig sammen".

Av for søren da, jeg må ha' ramt en nerve der. Men når det kommer fra dig, så må det være kærligt ment.

Du er velkommen til at have dine egne meninger Gordon, men du har ingen ret til at have dine egne fakta.

For det første, så er det ikke noget du bestemmer. For det andet så kan du slet ikke forestille dig at dine fakta kunne være fejlbehæftede, og du kan slet ikke rumme at der kunne være andre fakta, der iblandt mine fakta.

Desuden kan jeg sagtens rumme og respekterer flere slags fakta, bare man ikke begynder at bilde mig ind at de er den eneste og rigtige sandhed. Jeg tør også at tvivle på mig selv, for jeg ved (fakta) at jeg ikke kender "sandheden", hvis den da overhovedet eksisterer.

Når folk begynder at kaste om sig med begreber de ikke forstår og bruger dem retorisk, så får jeg genbesøg af morgenmaden. F.eks. når jeg hører "a priori antagelser", "videnskab", "tendenser", "empirisk" og "statistisk datamateriale", så leder det min tanke hen på TV-Shop hvor man skal overbevises af klogt udseende skuespillere i hvide kitler, der kaster om sig med lige så tåbelige begreber som "klinisk bevist", "laboratorie testet", "evidensbaseret", "næsten garanti" og "alt forskning viser" bare for at tage et par eksempler. Og så når man har købt "7-Minute-Abs" og lortet ikke virker, så er det jo ens egen skyld fordi man ikke er diciplineret nok, og ikke vil indrømme det og bare returnere varen.

Jan Pedersen

Det er muligt at fly er sikre

Det er også muligt, at de ikke er.

Endnu et eksempel på at fakta er fakta, men valget af hvilke fakta som anvendes, bestemmer facit.

Konklusionen om at det er sikrere at flyve, beror jo på, at hvis man skal gå lige så langt, så skal man gå endog meget langt.

Hvis man i stedet ser på den enkelte flyrejse i forhold til den enkelte gade passage, så er flyrejsen farligst.

Begge dele er fakta, men det er subjektivt hvilken man synes passer bedst.

Søren Ferling
Søren Ferling

Jov, det gør den nu nok. Fra starten er der 1/3 sandsynlighed for at bilen er bag enhver af dørene. Men når værten åbner en dør og der viser sig at være en ged, så ændrer sandsynlighedsbilledet sig. Jeg har godt nok læst statistik, men må nok her støtte mig til beregningerne foretaget af endnu klogere folk jf. linket.

Jeg ville mene at de tager fejl på Matematisk Institut - omend jeg ingen ørn er til faget.

Der er ikke 1/3 sandsynlighed i første omgang - der er 0. Spillet går jo videre uanset, hvad der vælges.

I anden omgang er der så to døre at vælge imellem og der er præcis 1/2 sandsynlighed for at vælge rigtigt og forkert.

Det må være indlysende at denne sandsynlighed ikke kan påvirkes af, om man vælger en ny dør eller fastholder den første.

De foregående begivenheder har absolut ingen indflydelse på noget som helst - andet end at forvirre folks tænkning.

Kogt ned består situationen i at man kan vælge mellem to døre, hvor der er en bil bag den ene og en ged bag den anden og, hvor man intet kan vide om fordelingen - studieværten vil altid åbne for en ged.

Sandsynligheden for at vinde bilen er altså 1/2 - og det er helt uafhængigt af, hvad man gør eller ikke gør i anden omgang - vælger man en dør, har man denne sandsynlighed, uanset om man vælger om eller ej.

Søren Ferling
Søren Ferling

Men bare rolig. Der er endnu mere bizarre eksempler på dette. Vi kan nok blive enige om, at hvis jeg har to børn og den ene er en dreng, så er sandsynligheden for at jeg har to drenge 1/3 (der er 3 lige sandsynlige scenarier - DD, DP og PD). Men hvis jeg siger, at jeg har to børn hvor den ene er en dreng født på en tirsdag - hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge? Hvis du mener at det stadig er 1/3 snyder din intuition dig igen!! Læs: http://ing.dk/artikel/simpel-matematikopgave-gav-laeserstorm-109315.

Jeg turde ikke skrive denne i den oprindelige blog, da jeg ved at 95% af læserne vil nægte at tro på det :-)

Jeg indskriver mig gerne i skaren af nægtere ;-)

Det var vist Kamp, der var inde på noget af det rigtige for fem år siden - nemlig at da der absolut ingen påvirkning er mulig fra drengen og hans fødselsdag til hans søsken, kan sandsynligheden for denne søskens køn kun være 1/2.

Her taler vi selvsagt om idealiserede forhold. Jeg ser at nogle indrager sociologiske, biologiske og andre forhold og det er da helt misforstået, da det er principperne vi er interesserede i her.

Jeg ville mene at udregningerne farer vild i tankespind.

Hvis man ikke er i stand til at forklare, hvordan oplysningen om drengens fødselsdag kan påvirke sandsynligheden for hans søskens køn i alment klarsprog, er man overtroisk.

Hans Dybkjær

Hvis man ikke er i stand til at forklare, hvordan oplysningen om drengens fødselsdag kan påvirke sandsynligheden for hans søskens køn i alment klarsprog, er man overtroisk.


Det er klart og logisk forklaret i den refererede tråd hvorfor udfaldsrummet er anderledes --når man har den ekstra information: "at det ene barn er en dreng født på en tirsdag", og at gunstige/mulige derfor er anderledes. Det er endda forklaret på flere måder, så der er flere måder at indse intuitionen bag. Sandsynligheder er tit svære at forstå, og mange i tråden nægter, lige som for opgaven med de 2/3 chance for at få en bil, at tro på argumentet. Dem ville jeg gerne spille terning mod :-) (ikke ment respektløst, selv store matematikere har i tidens løb været på vildspor). Omvendt er det vel lidt urimeligt at kalde folk overtroiske bare fordi de vælger at tro på en fagmand uden selv at være i stand til at forklare sammenhængen.
Faktisk burde de fleste på siden her vel have respekt for at et fagligt emne kan være så komplekst at det er svært at forklare menigmand (her ment som dem uden for faget) hvordan det hænger sammen. Jeg vil da fx gerne høre nogen forklare fx min far (højt begavet akademiker) hvad en monad er, eller virkefeltsreglerne i javascript (ok, den nærmer sig nok voodoo :-) ).

Søren Ferling

Det er klart og logisk forklaret i den refererede tråd hvorfor udfaldsrummet er anderledes --når man har den ekstra information: "at det ene barn er en dreng født på en tirsdag", og at gunstige/mulige derfor er anderledes. Det er endda forklaret på flere måder, så der er flere måder at indse intuitionen bag.

Det har jeg ikke fundet og forstår ikke at det ikke er enkelt at pege på det forhold, man angiveligt skulle overse p.gr.a. intuition.

Jeg kan ikke se at man kan komme uden om at påvise en kausal forbindelse mellem et ukendt barns køn (søskenen) og et stykke info om et andet, i den henseende urelateret, barn (drengen).

Er der ikke en sådan kausal forbindelse kan udfaldsrummet ikke blive ændret.
Klart at jeg kan tage fejl, men det synes jeg ikke er sandsynligt, når der kun henvises til autoritet.

Jeg læser dig som at du ikke anderkender min kritik af opgaven med bilen.
Hvordan skulle den første omgang i opgaven have nogen som helst indvirken på den anden del af den ?

Man kan jo umuligt komme frem til anden situation end at der er to låger at vælge imellem - en med en ged og en med en bil - derfor kan der kun være 50 % sandsynlighed for at vinde eller tabe.

Den første del af opgaven er totalt irrelevant - kun noget der snyder intuitionen.

Deltageren har jo da på ingen måde 1/3 sandsynlighed for at vinde noget i første del.

Man kan blive forvirret af at der er 1/3 sandsynlighed for at der er en bil bag en tilfældig låge i første del og glemmer at det er helt uden betydning.

Jeg er nok ikke videre enig i at man skal have respekt for fagfolk, der ikke kan forklare sig for interesserede forudsætningsløse.

Mit område er biologi og menneskers mentale egenskaber og dér mener jeg at kunne det.

Jeg kiggede lige på 'monad' på wiki og det skulle vel nok kunne lade sig gøre. Programmering som sådan er jo ligetil at forklare den evige kassedame og man kan så forklare lidt om forskellige måder med forskellige egenskaber.

Jeg taler i sådanne komplicerede forhold selvsagt om modellering tilpasset forudsætninger, men man kan altid få folk op på et væsentligt højere erkendelsesniveau, hvis man forstår sit eget fag.

Derfor tvivler jeg på at de helt forstår, hvad de skriver i den opgave på Matematisk Institut - desværre er der ingen kommentarfunktion.

Iøvrigt kom Lars Juul allerede i anden kommentar frem til det samme, hvad angår bilopgaven - det er da indlysende ;-)

Jeg ville bestemt også gerne spille terning med dig, men du har nok ikke råd ;-)

Søren Ferling

Sandsynligheder er tit svære at forstå, og mange i tråden nægter, lige som for opgaven med de 2/3 chance for at få en bil, at tro på argumentet. Dem ville jeg gerne spille terning mod :-)

Hmm, nu har jeg læst og læst og må nok indrømme at jeg ikke havde forstået at en dør så at sige kan nedarve sandsynlighed fra andre falske - det er godt nok kontraintuitivt - så skal vi nok ikke spille terning alligevel, ihverfald ikke om penge ;-)

Det kunne man da godt have forklaret bedre.

Gruppetænkning er et voldsomt kraftigt virkende fænomen og derfor er der god grund til at være skeptisk - jeg husker en nylig TV-udsendelse, hvor en tilfældig på Strøget blev sat sammen med skuespillere og skulle bedømme hvilken tegnet søjle på en flipover, der var højest. Skuespillerne sagde at en på 60 cm var højere end en på 80 cm og de fleste tilfældige sagde sig enige - og kunne ikke bagefter forklare, hvorfor de sagde noget, de bagefter klart kan se er forkert.

Er der nogen der kan forklare det med tirsdag ?

Rune Jensen

Ah, det var da en skodopgave, som mere går på sneaky formulering, end at kunne udregne.

Den burde retteligt lyde:

Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag (MEN DET ANDET ER IKKE FØDT EN TIRSDAG). Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?

Så er den jo nem nok at udregne.

Søren Ferling

Har du gjort dig den ulejlighed at simulere problemstillingen inden du giver dig til at argumentere? Du vil opdage, at det første valg rent faktisk betyder noget!

Helt så ferm til Excel er jeg ikke - det ville have taget tiiid. Men idéen er jeg enig i - man må prøve flere tilgange, når man er forvirret.

Jo, jeg kom frem til at det er rigtigt at der ligger info i åbningen af en tom låge - det fik jeg ikke fat i først. Jeg undrer mig dog over at ingen skriver det klart.

Rune Jensen

Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag (MEN DET ANDET ER IKKE FØDT EN TIRSDAG). Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?

Sludder.

Det er forfattet oprindeligt, så det udelukker muligheden dTi dTi, fordi den sproglige formulering er ment som "hvis det er to drenge, er kun den ene født en tirsdag", og vi ved, at netop den ene er en dreng. Men det udelukker ikke muligheden dTi pTi

Ret dårlig formulering, ville jeg mene, uanset.

Rune Jensen

F.eks. når jeg hører "a priori antagelser", "videnskab", "tendenser", "empirisk" og "statistisk datamateriale", så leder det min tanke hen på TV-Shop hvor man skal overbevises af klogt udseende skuespillere i hvide kitler, der kaster om sig med lige så tåbelige begreber som "klinisk bevist", "laboratorie testet", "evidensbaseret", "næsten garanti" og "alt forskning viser" bare for at tage et par eksempler.

Det er faktisk også en logisk fejlslutning at tro på noget udfra autoritet.

Hvad der tæller er alene de beviser, som denne "autoritet" fremlægger.

At der så er forskel på, kvaliteten af de beviser som fremlægges, er det enten af Dawkins - eller en host i TV Shop er noget andet.

Teoretisk kan en TV shop vært også fremlægge gyldige beviser. Men tager man historikken for begge, vil sandsynligheden nok være mindre for TV værten, end for Dawkins.

Jeg har haft en del ret morsomme diskussioner omkring logiske fejlslutninger.

Den ovenfor omtale er en "argument from authority" fejlslutning.

En anden meget brugt fejlslutning er den berømte "5 billioner fluer kan ikke tage fejl æd l..."

Som går ud på, at når en ting er meget populær, må den også være sand.

Man kan faktisk have en påstand, som bakkes op af 99.999999% af jordens befolkning, og den kan stadig være falsk. Fordi igen, det er beviserne, som afgør sandhedsværdien af en påstand, ikke populariteten.

Rune Jensen

At der så er forskel på, kvaliteten af de beviser som fremlægges, er det enten af Dawkins - eller en host i TV Shop er noget andet.

Og for at køre den med "argument from authority" helt ud, så kan man se det ved, at paven nu langt om længe har besluttet sig for, at katolikker god tmå tro på Evolution.

Det er en fejlslutning i sig selv, at man kommer til den korrekte konklusion, men ikke baseret på beviser, men på tro.

Argumentationen bag Evolutions-troen holder derfor ikke, hvis "beviserne" er tro - med mindre altså paven fremlægger de videnskabelige for, hvorfor Evolution er sand.

Hvilket Dawkins til gengæld ikke har problemer med. Her er der konsistens imellem påstand og dokumentation.

Men at henvise til enten pavens eller Dawkins "mening" som bevis for Evolution, det er stadig en fejlslutning. Man skal henvise til beviserne selv (hvor Dawkins så selv har fremlagt en del, fordi han er biolog).

Men det var et sidespring.

Tilbage til debatten om statistik.

Hans Dybkjær

Man kan jo umuligt komme frem til anden situation end at der er to låger at vælge imellem - en med en ged og en med en bil - derfor kan der kun være 50 % sandsynlighed for at vinde eller tabe.


Vi ved at i 2/3 af tilfældene har man valgt en dør med en ged. Vi ved at der bag netop en af de to tilbageværende døre er der en bil. I 2/3 af tilfældene er det derfor den anden dør. Længere er den ikke.

Vi er enige om at hvis værten først eliminerede alle døre undtagen to (dvs. en ged og en bil), og du derefter skal vælge dør, er sandsynligheden 50% for at vælge en bil, uanset hvilken dør du vælger.

Men i opgaven vælger du først, og det er væsentligt. Pointen er at værten VED hvilken dør bilen er bag, men kan IKKE vælge den dør man har valgt. Han er altså tvunget til kun at eliminere blandt de andre døre, og han må ikke vælge bildøren. Intet han gør, kan ændre den oprindelige sandsynlighed fra da du valgte først. Han kan kun afsløre information om hvor bilen ikke er.

Hans Dybkjær

Er der nogen der kan forklare det med tirsdag ?


Her er en udgave af min forståelse:
"Jeg har to børn, det ene er en dreng født på en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge."

Antag desuden at rent sprogligt opfattes "det ene" som "mindst det ene", at dreng/pige er uafhængige og lige sandsynlige hændelser i alle fødsler, og at alle ugedage er lige sandsynlige for fødsler (i virkeligheden er der lidt flere drengefødsler, og planlagte kejsersnit ligger nok oftest på hverdage, uden jeg kender statistikken for det).

For det andet barn er udfaldsrummet derfor, med lige store sandsynligheder:
{D_man, D_tir, D_ons, D_tor, D_fre, D_lør, D_søn, P_man, P_tir, P_ons, P_tor, P_fre, P_lør, P_søn}

Der er derfor 14 muligheder med D_tir født først, og 14 med D_tir født sidst. Men en af mulighederne er talt to gange, nemlig den med (D_tir, D_tir), eftersom det ikke er specificeret hvilket af de to der er "vores" D_tir: vi har bare sagt "en af dem".

Det giver i alt 27 mulige, og af dem er 13 to drenge, dvs. sandsynligheden er 13/27.

Selv hvis man ikke fanger den med de to D_tir, vil man ende på 14/28 = 1/2.
Det er stadigt forskelligt fra det man får hvis man kun ved at (mindst) det ene barn er en dreng. I den situation er mulighederne nemlig DD, DP, PD, dvs. to drenge i 1/3 af tilfældene.

Undlader man informationen om tirsdag, men regner det igennem med alle muligheder for (køn, ugedag) som ikke er to piger, vil man opdage at også her får man 1/3. Det er altså via en begrænsning af dette udvidede udfaldsrum at man får en ændret sandsynlighed.

Det er vigtigt at udfaldsrummet for denne ekstra information faktisk er knyttet til børnene (ellers ville det blot være DD, DP, PD om igen) og at vi kan tildele det sandsynligheder (ellers kunne vi ikke regne på det ).

Tauno Suikkanen

"" Man kan jo umuligt komme frem til anden situation end at der er to låger at vælge imellem - en med en ged og en med en bil - derfor kan der kun være 50 % sandsynlighed for at vinde eller tabe.""
"Vi ved at i 2/3 af tilfældene har man valgt en dør med en ged. Vi ved at der bag netop en af de to tilbageværende døre er der en bil. I 2/3 af tilfældene er det derfor den anden dør. Længere er den ikke.

Vi er enige om at hvis værten først eliminerede alle døre undtagen to (dvs. en ged og en bil), og du derefter skal vælge dør, er sandsynligheden 50% for at vælge en bil, uanset hvilken dør du vælger.

Men i opgaven vælger du først, og det er væsentligt. Pointen er at værten VED hvilken dør bilen er bag, men kan IKKE vælge den dør man har valgt. Han er altså tvunget til kun at eliminere blandt de andre døre, og han må ikke vælge bildøren. Intet han gør, kan ændre den oprindelige sandsynlighed fra da du valgte først. Han kan kun afsløre information om hvor bilen ikke er."

Taler i ikke bare om to forskellige ting ?

I sidste trækning er der vel 50% chance ?
I første trækning var der 1/3 chance ?
I den samlede trækning er der 1/3 +1/2 = 2/3 chance ?

Tauno Suikkanen

Undskyld, jeg havde vist ikke fået læst opgaven grundigt nok. Han får ikke svar på sit første valg.
Så lander jeg desværre også på den forkerte (?) løsning - 50%
Det skyldes at jeg ikke lige kan se, hvordan det første valg har nogen indflydelse på resultatet.
Lige meget hvad han vælger i første forsøg, så vil han stå med 2 muligheder i andet forsøg, hvor sagen afgøres ?
Hvorfor det resultat lige skal påvirkes af fortiden.....

Per Andersen Blogger

Der er flere, der efterlyser de konkrete beregninger af flyvning kontra at bevæge sig i trafikken som fodgænger. For at få lidt sikrere statistisk materiale kan man se over en ti-årig periode (2005 til 2014).

Antal dræbte fodgængere i trafikken var i denne periode 446 ifølge Danmarks Statistik.

Ifølge en opgørelse i Berlingske Tidende den 16. februar 2014 døde i samme periode 5 danskere ved flyulykker.

Så første konklusion: Som gennemsnit betragtet dør der ca. 100 gange flere danske fodgængere i trafikken hvert år end ved flyulykker.

Kan man normalisere dette i forhold til en anden variabel?

Hvis man tager rejse pr. km. ændrer konklusionen sig givetvis ikke - man flyver jo meget længere end man går, også selv om man ikke flyver så ofte.

Hvis man tager rejse pr. time er det noget mere usikkert. Jeg kan ikke finde data for, hvor meget tid man i gennemsnit tilbringer på et fly og på gaden. Lad os for eksemplets skyld antage at en dansker i gennemsnit sidder 2 timer i et fly om året og 100 timer på gaden om året, så er det stadig dobbelt så farligt at gå på gaden som at flyve målt per time. Dette har jeg dog ikke statistisk materiale for at underbygge - men nogen har sikkert.

Pudsigt nok er de indlæg, der råber "fakta" fuldstændigt blottet for fakta :-)

Jan Pedersen

Fakta om fly og fodgængere på verdensplan.

I groft estimerede afrundinger:
Flyrejser / dræbte (om året)
3.000.000.000 / 1000 = 3.000.000

Fodgængere / dræbte (om dagen)
5.000.000.000 / 1000 = 5.000.000

Igen, danmark er et sikkert land at være i, men det er subjektivt om kun danmark er relevant.

Michael T. Jensen

Det skyldes at jeg ikke lige kan se, hvordan det første valg har nogen indflydelse på resultatet.
Lige meget hvad han vælger i første forsøg, så vil han stå med 2 muligheder i andet forsøg, hvor sagen afgøres ?
Hvorfor det resultat lige skal påvirkes af fortiden.....


Prøv at læse det Troels Tolstrup skriver ovenfor. Han forklarer det fint, men jeg forsøger lige igen med nogle andre ord:

Der er to forskellige slags strategier, når værten har åbnet en forkert låge og spørger om du vil skifte mening:
A. Hold fast i det oprindelige valg
B. Skifte mening og vælge den anden låge.

Strategi A (Bil er bag låge #1):
1. Du vælger låge #1 => Værten åbner #2 eller #3 => Du vinder ved at fastholde dit valg
2. Du vælger låge #2 => Værten åbner #3 => Du taber
3. Du vælger låge #3 => Værten åbner #2 => Du taber
p(gevinst) = 1/3

Strategi B (Bil er igen bag låge #1)
1. Du vælger låge #1 => Værten åbner #2 eller #3 => Du taber ved at vælge #3 eller #2
2. Du vælger låge #2 => Værten åbner #3 => Du vinder ved at skifte til #1
3. Du vælger låge #3 => Værten åbner #2 => Du vinder ved at skifte til #1
p(gevinst) = 2/3

Tauno Suikkanen

Jeg prøver at være åben, og læser din opstilling med de to tilfælde

Jo, det kan jeg godt følge, men min erfaring fra skoletiden for mange år siden er, at man ikke skal forsøge sig med disse komplicerede forklaringer i sandsynlighedsregning.

...hvis jeg skulle være en fornuftig debattør, så ville jeg sætte mig og spekulere mig gul og grøn over, hvor logikken svigter i argumentationen - måske er det fordi opgavens løsning afgrænses til, at gevinsten er bag låg 1.

2) tilfælde bliver måske forenklet for meget ?

Men inden jeg tænker så meget over din forklaring, så giver du vel mig ret i, at der i anden runde er to muligheder, en gevinst chance og et valg. Altså 1/2 chance.

Ved dette valg kan du nummere lågerne som nr 1 og nr 2/3 eller som det du valgte sidst og et andet der kan vælges - stadig 1/2 chance.

Idet deltagen ikke får noget resultat af første valg, kan først valgte låge vel kun været et valg af en af to låger, som han vil have med til et fifty-fifty spil. Han kan med valget ikke fravælge at det bliver et fifty-fifty spil.

Tauno Suikkanen

@ Hans Dybkjær

Fin forklaring, men: "Intet han gør, kan ændre den oprindelige sandsynlighed fra da du valgte først".

Sandsynligheden for at vælge en ged fra starten er 2/3, men i det øjeblik en af lågerne med en ged åbnes, så er sandsynligheden for at en ged er valgt vel blevet ændret til 1/2 ?

Hans Dybkjær

Sandsynligheden for at vælge en ged fra starten er 2/3, men i det øjeblik en af lågerne med en ged åbnes, så er sandsynligheden for at en ged er valgt vel blevet ændret til 1/2


Nej. Sandsynligheden for at der er en ged bag din dør, ændrer sig ikke. Det er kun for en forsinket tilskuer, der ikke kender forhistorien, at det vil se sådan ud (og han vil så blive snydt gebommerligt, for værtens dør er netop ikke udvalgt tilfældigt). Værten vælger ikke tilfældigt, men 100% styret af dit valg. Derfor bliver slutsandsynligheden (2/3) * 1/1. Han afslører blot information du kan udnytte.

En alternativ måde at forklare det på er algoritmisk. Jeg havde egentligt kodet det i typescript, men Version2's firewall tillader for tiden ikke programkode, så her er noget pseudokode i stedet. Sidst jeg kørte det tilsvarende program, gav det "Wins: 666773" som svar. Af koden, som tæt modsvarer opgaveformuleringen, fremgår hvorfor dette ligger tæt på 2/3.

funktion goatGoatCarSimulation  
    sæt wins til 0  
    for (i lig 0 til 1000000) {  
        // Setup: assume doors numbered 1,2,3.  
        positionsvariabler car, you, host : heltal fra 1,2,3  
        // Place car behind any of the 3 doors  
        // Assume goats behind the two other doors  
       sæt car til tilfældigt heltal fra 1,2,3  
        // The host knows which door car is behind. You don't.  
        // You choose randomly over all three doors:  
        sæt you til tilfældigt heltal fra 1,2,3  
        // Host selects a door:  
        hvis (you lig car)  // happens 1/3  
            // Host selects a goat door  
            hvis (you lig 3)  sæt host til 1  
            ellers sæt host til 3  
        ellers // happens 2/3  
            sæt host til car // Must be the door with the car  
        // Now you select the host door (no coin throwing):  
        sæt you til host  
        // Did you win?  
        hvis (you lig car)  
            tæl wins op med 1  
    }  
    udskriv "Wins: " wins
Tauno Suikkanen

Jeg er blevet lidt nysgerrig på det her, så jeg må få lavet et program til at eksperimentere med.

Men nu skal jeg jo også passe på ikke at bygge hverken din eller min forklaring ind i programmet :-)

For jeg kan stadig ikke få ind i mit hoved at værtens valg påvirker anden runde.

Jeg er helt enig i at værten kun har en mulighed - bestemt af deltagerens valg - hvis deltageren har valgt en ged i første omgang. Ellers to.

Hvad med den her forklaring ?
Første runde:
Sandsynligheden for at deltageren får adgang til anden runde, med kun to muligheder, er 1
Anden runde består af to muligheder: bil/ged
Et valg - også "anden dør" giver 1/2 chance for bil.

Hvad kan deltageren præcist se på værtens valg, som kan øge chancen (til 2/3) ? - ved at flytte sit første valg.
Eller som du udtrykker det - information. Jeg kan kun se den information, der udelukker en låge - de resterende har tilfældig fordeling bil/ged ?

Ja, så længe argumenterne gå på egen forklaring og ikke påpeger fejl i min, så er jeg utryg ved om ikke argumentationen er et illusionsnummer. Eller at der er en sproglig finte i opgave formuleringen, som jeg ikke lige har fanget.

Tauno Suikkanen

NB: Hvad er det som gør, at en sandsynlighed ikke kan ændres, når situationen ændres ?
Som jeg ser det, så har deltagen 2/3 chance for at vælge ged i første runde. Men når værten åbner en låge, så er chancen reduceret til 1/2. Hvorfor ikke ? En 1/3 del af udfaldsrummet er jo fjernet.

Mogens Ritsholm

Da vi nåede til sandsynlighedsregning i skolen skete noget forunderligt. Nogen forstod det intuitivt, mens flertallet simpelthen ikke kunne lære det. Jeg har aldrig oplevet en disciplin, der i den grad skilte vandene.

Det, som åbenbart er svært, er at have et konsistent og sammenhængende udfaldsrum. Det er også tilfældet med de 3 døre, hvor man sammenblander forskellige udfaldsrum på en så forkert måde, at det allerede ved første øjekast svarer til at spille Mozart på et ustemt klaver for dem, der behersker begrebet sandsynlighed.

Og din svigerfar havde måske også lidt ret. For det drejer sig jo ikke kun om at få sine tal udtrukket. Det er lige så afgørende, at det giver en god gevinst. Og måske spiller andre i højere grad på tal, der allerede er udtrukket, fordi de tror, at kuglerne er lidt uens..

Mogens Ritsholm

Der er kun et udfaldsrum. Og det er det vi starter med. Altså 1/3 chance for at vælge rigtigt i første hug og 2/3 for at det er en af de andre 2 døre. Når værten så udelukker den ene af de to, er der stadig 2/3 sandsynlighed, men nu ved vi, at de 2/3 skal være ved den dør, han ikke fravalgte. Så simpelt er det.

Kim Bygum

Men inden jeg tænker så meget over din forklaring, så giver du vel mig ret i, at der i anden runde er to muligheder, en gevinst chance og et valg. Altså 1/2 chance.

Nej, dér dit ræsonnement fejler er, at lågerne ikke har samme sandsynlighed. Den først valgte låge har (stadig) sandsynligheden 1/3, den anden har "overtaget" begge de andre lågers sandsynligheder.

Selv om man ofte kan argumentere for, at et antal valg har samme sandsynlighed er det ikke altid sådan!

Tauno Suikkanen

Hmmm, jeg har ikke så meget tid, men vil gerne forstå det her. Så jeg svarer uden at have tænkt grundigt.

@Kim Bygum
Ingen af de to resterende låger åbnes. Hvordan kan du så se, at netop den "ikke valgte" overtager sandsynligheden fra den værten valgte ?

@Mogens Ritsholm
Hvorfor ændres udfaldsrum ikke ? Værten udelukker jo en af tre muligheder ?
Første valg påvirker jo ikke noget ?

Mogens Ritsholm

Det sjove ved det er, at matematisk institut sådan set også tager fejl, selv om de med en unødig besværlig metode når frem til det korrekte resultat.

Der er kun én stokastisk proces, nemlig fordelingen af gevinster og nitter bag dørene. Det forhold, at man efterfølgende fjerner en nitte fra den ene gruppe er ikke en stokastisk proces, men blot en indskrænkning af gruppen.

Lad os nu sige, at der var 8 døre og 2 gevinster.

Så vil sandsynligheden for gevinst bag den førstvalgte være 1/4 eller 6/24 og hver af de 7 øvrige ville have en gevinstchance på 1/4. Når en nitte fjernes blandt de 7 stiger dette til 1/4 *7/6 = 7/24.

Med matematisk instituts tilgang, kan man godt bruge resten af dagen til at nå frem til det.

http://www.math.ku.dk/uddannelser/laes/vidstedu/montyhall/

Så ikke alene er statistik ikke altid intuitivt forståelig for mange. Eksperters vurderinger er heller ikke altid den let forståelige og rigtigste version.

Kim Bygum

@Kim Bygum
Ingen af de to resterende låger åbnes. Hvordan kan du så se, at netop den "ikke valgte" overtager sandsynligheden fra den værten valgte ?

Sandsynlighed er ikke svært, men man skal ikke lade sig forlede af sin intuition. Den overtager sandsynligheden fordi du har fastsat den første dør til 1/3 da du valgte den.

OK, lad os prøve på den her måde.

Du deltager mange gange i en konkurrence, hvor du skal vælge mellem tre døre. Bag den ene er en bil. Du vælger tilfældigt hver gang.

Efter valget går du hjem og får besked pr. brev om gevinsten

Jeg håber vi er enige om, at du vil vinde ca. en trediedel af gangene.

Senere får du at vide, at værten hver gang (efter du går hjem) har afsløret en ged bag en af de andre døre.

Jeg håber vi er enige om, at det ikke ændrer på din gevinstandel på 1/3.

Desuden sagde værten, at hvis du var blevet ville du have fået lov at vælge om.

Jeg håber vi er enige om, at det ikke ændrer på din gevinstandel på 1/3.

MEN hvis du havde blevet og valgt om hver gang, ville du have vundet alle de gange du tabte, dvs. to trediedele.

Enig?

(Og tirsdagsopgaven er også korrekt, men den gider jeg ikke diskutere mere ...)

Finn Glamhøj

Jeg har desværre aldrig lært sandsynlighedsregning og måske er det derfor jeg stiller følgende spørgsmål.
I eksemplet der nævnes i kommentartråden med de to børn hvoraf en er en dreng født på en tirsdag, er der angivet at uden informationen om at drengen er født på en tirsdag er sandsynligheden 1/3 for at det andet barn også er en dreng.
Er det nu også korrekt? Idet vi jo ved at barnet er født på en eller anden ugedag, det kan jo ikke være anderledes. Så ændre informationen om at det er en tirsdag noget?
Og er det ikke et eksempel på at man skal være varsom med, hvad man konkludere ud fra sådanne beregninger?

Kim Bygum

I eksemplet der nævnes i kommentartråden med de to børn hvoraf en er en dreng født på en tirsdag, er der angivet at uden informationen om at drengen er født på en tirsdag er sandsynligheden 1/3 for at det andet barn også er en dreng.
Er det nu også korrekt? Idet vi jo ved at barnet er født på en eller anden ugedag, det kan jo ikke være anderledes. Så ændre informationen om at det er en tirsdag noget?

Sandsynligheden er den samme (13/27), uanset hvilken ugedag du får oplyst. Hvis du prøver at regne sammen (med betinget sandsynlig) of alle ugedagen får du netop den oprindelige sandsynlighed på 1/3.

Hvis du i stedet for at vide at han er født den 1. december er sandsynligheden meget tættere på 1/2.

Hvis du får at vide at han har været statsminister er den MEGET tæt på 1/2 (den bliver 1/2 hvis der ikke er nogle familier med to drenge som begge har været statsminister).

Kik efter de gamle tråde på ing.dk.

Tauno Suikkanen

"MEN hvis du havde blevet og valgt om hver gang, ville du have vundet alle de gange du tabte, dvs. to trediedele."
Jo, men jeg kender jo ikke udfaldet før mit næste valg.

"Der er kun én stokastisk proces". Er det ikke også det jeg argumenter for - nemlig den sidste med to muligheder ?

Finn Glamhøj

Mit spørgsmål går egentlig ikke på om selve ugedagen har betydning, men på om man ikke skal være meget varsom med hvad man anvender det til i praksis? idet resultatet er afhængig af, hvorledes opgaven stilles - i det ene tilfælde udelades det faktum at drengen er født på en af ugens dage og kan man det?

Torben Mogensen Blogger

I det oprindelige MHP er det givet, at værten ved, hvor bilen er, så han uanset dit valg kan vælge en dør med en ged. Men det er faktisk ikke nødvendigt.

Lad os antage, at værten ikke kender indholdet af dørene, men alligevel åbner en dør, og der viser sig at være en ged bag. Lad os se på mulighederne:

  1. Dit første valg var bilen (1/3 af de mulige valg): Du taber, hvis du skifter dør.

  2. Dit første valg var en ged (2/3 af de mulige valg). Du vinder, hvis du skifter dør, for værten har elimineret den anden ged som valgmulighed.

Så det gælder stadig, at du (med arbitrært førstevalg) ændrer din chance fra 1/3 til 2/3 ved at skifte dør. Man kan også sige, at det er ligegyldigt om værten kender placeringen af bilen, det er det faktum, at han afslører en ged, der er afgørende.

Hvis værten afslører en bil, skal du selvfølgelig skifte, dag det øer din gevinstchance til 100%. Så uanset om værten er vidende, og uanset, hvad han afslører, så kan det betale sig at skifte.

Men betyder det så, at du skal skifte, selv om du ikke ved hvad, der er bad den dør, som værten åbner? Vi har jo lige set, at det i begge tilfælde kan betale sig at skifte.

Men nej. Hvis værten åbnede døren med bilen, skulle du jo vælge denne dør, og hvis han åbnede for en ged, skulle du vælge den anden. Så hvis du ikke ved, hvad der er bag døren, har du ikke grundlag for at vælge. I begge tilfælde findes et vag, der vil forbedre din chance, men i begge tilfælde vil det andet valg forværre den. Så du kan lige så godt fastholde dit valg -- din chance vil være 1/3 uanset.

Mere interessant er det hvis værten ikke alene kender placeringen af bilen og de to geder, men også kan rykke rundt på dem, inden han afslører en ged. Her har du ikke nogen fordel eller ulempe ved at skifte -- værten kan lige så vel have flyttet bilen til din dør som fra den. Men din chance er nu 1/2, uanset om du skifter eller beholder dit valg.

Hans Dybkjær

Der er kun én stokastisk proces". Er det ikke også det jeg argumenter for - nemlig den sidste med to muligheder ?


Nej. Det er præcis der din argumentation fejler. Anden gang bliver du ikke bedt om at slå med en terning igen, men om at overveje om du vil holde fast i din 1/3 chance-dør, eller om du vil skifte til den anden dør.
Der er kun et terningekast (dvs. 1 stokastisk proces), og det er når du vælger første gang, mellem tre døre.

Men prøv dog. Prøv 1000 gange, så lang tid tager det ikke:
(i) Placer bil, ged og ged i tre positioner a,b,c
Brug samme placering hver gang, eller byt dem tilfældigt rundt. Det er ligemeget, terningekastet i næste skridt gør det fair tilfældigt.
(ii) Slå med en terning: 1,2 -> a, 3,4 -> b, 5,6 -> c
Dette er dit første og tilfældige valg.
(iii) Fjern en ged fra en af de positioner du ikke valgte, det er værtens tvungne trin.
(iv) Vælg nu den anden, tilbageværende position, dvs. den som hverken blev udpeget af terningen i trin ii eller fjernet af værten i trin iii.
(v) Tæl en op hvis du peger på en bil.

Du vil få mindst 600 biler i de 1000 forsøg.
Allerede ved 100 forsøg er det 93% sikkert at du har over 60 biler.

Et sådant forsøg forklarer selvfølgelig ikke hvorfor de 2/3 er korrekt, men sandsynliggør forhåbentlig at de er.
Du er velkommen til at lave din egen formulering af algoritmen og lave forsøget. Hvis du får et andet resultat, kan vi sammenligne algoritmerne og se hvor forskellen er.

Hans Dybkjær
Tauno Suikkanen

"Nej. Det er præcis der din argumentation fejler. Anden gang bliver du ikke bedt om at slå med en terning igen, men ..."

Jo, jeg har fuld respekt for virkeligheden - at prøve. Men vil hellere forstå.

Hvorfor er der ikke noget "terningekast" i anden runde ? - og det er vel her jeg ikke forstår, at der holdes fast i 1/3 chance.

Som jeg læser det, så gives valget mellem to muligheder: Den låge du valgte først eller den der nu er tilbage.
Er det forkert ? - for så vil en simulering nok også fejle.

Tauno Suikkanen

Det bliver en leg, når børnebørn kommer på besøg.
Min sandsynlighedsregning er fra 3.g i 74/75. Det var noget med logik og hvis det gik højt: komplementær mængden.

Men jeg forstår stadig ikke, at det ikke kan forklares, så der går en prås op for mig :-(

Hans Dybkjær

Som jeg læser det, så gives valget mellem to muligheder: Den låge du valgte først eller den der nu er tilbage.


Det er rigtigt at der er to muligheder, men sandsynlighederne er ikke ligeligt fordelte efter processen. Dit første valg har bestemt at der med 2/3 sandynlighed er en ged bag din dør, og det ændrer sig ikke. Der bliver ikke flyttet rundt på geden, det er ikke Schrödingers ged.
Bemærk i algoritmen ovenfor at i trin iv vælger man, i overensstemmelse med opgavebeskrivelsen, ikke tilfældigt, men altid, dvs. 100%, den anden dør. Derved er det kun de 2/3 fra det tidligere og eneste tilfældige valg der påvirker gevinstfordelingen.

Tauno Suikkanen

..-her lørdag aften...
"sandsynlighederne er ikke ligeligt fordelte efter processen. Dit første valg har bestemt at der med 2/3 sandsynlighed er en ged bag din dør, og det ændrer sig ikke"
Hvorfor ikke ?, når jeg nu får at vide.....
"Schrödingers ged." bjergged ? - Nej, jeg er kun amatør :-)

Jeg må være irriterende...., men jeg forstår stadig ikke hvordan de to sidste døre kan huske foregående hændelser

"opgavebeskrivelsen". - Umiddelbart, tror jeg det er her hunden ligger begravet.

Tauno Suikkanen

"opgavebeskrivelsen". - Umiddelbart, tror jeg det er her hunden ligger begravet.
---altså, at jeg har misforstået.

Men det må vel fremgå af mine spørgsmål ?

Så, nej ? til "det er her hunden ligger begravet."
...ser det komme: Hvordan skal jeg tolke ja/nej...

Bjarne Nielsen

...en afhængighed mellem første og anden runde ? - som jeg ikke kan se.

Tænk på, hvad vi ved om den anden låge, efter at værten har afsløret en ged:

  1. hvis vi tilfældigvis har valgt lågen med bilen til at starte med, så ved vi, at der er en ged bag den anden låge (for vi har jo bilen, og derfor er der kun geder tilbage).
  2. hvis vi tilfældigvis har valgt en låge med en ged, så ved vi, at der er en bil bag den anden låge (for vi har jo den ene ged bag vores låge, og værten har lige vist os den anden ged).

Eller med andre ord, uanset at vi ikke ved, hvad vi valgte, så ved vi, at der altid er det modsatte bag den anden låge (når værten har afsløret en ged).

Vi ved også, at der er 1/3 chance for, at vi valgte lågen med bilen, og 2/3 for at vi valgte en ged. Derfor må der tilsvarende være 1/3 chance for, at der er det modsatte af en bil bag den anden låge, og 2/3 chance for det modsatte af en ged.

Eller 1/3 chance for en bil bag den låge, vi startede med at vælge, og 2/3 for en bil bag den anden.

Tauno Suikkanen

"Derfor må der tilsvarende være 1/3 chance for...."
Det er det, jeg ikke lige kan se.. Der kommer en information i mellem.
En har foreslået at spille med åbne kort. Hvad med lukkede kort ? - så er vi vel alle enige om fitty-fifty ?

Mogens Ritsholm

Det er det, jeg ikke lige kan se.. Der kommer en information i mellem.
En har foreslået at spille med åbne kort. Hvad med lukkede kort ? - så er vi vel alle enige om fitty-fifty ?

Hvis du stadig har svært ved at acceptere, at det er en og kun en stokastisk proces efterfulgt af en manipulation, kan det måske hjælpe, at se på sandsynligheden for, at vores ven ender med en ged i stedet.

Bag den først valgte dør være der være en ged i 2/3 af alle tilfælde. Og det gælder uanset hvilke manipulationer, der efterfølgende sker i den anden gruppe.

I den anden gruppe vil der kun være en ged bag den tilbageværende dør, hvis begge geder i første omgang var endt bag de to døre. Og det gør de kun i 1/3 af tilfældene.

Men du skal ikke skamme dig. Faktisk begår matematisk institut ved KU samme fejl som dig, selv om de ender med det rigtige resultat. For de ser det heller ikke klart som en stokastisk proces efterfulgt af en manipulation, og deres regnestykke bliver dermed al for besværligt, som jeg tidligere viste med en variant med 8 døre og 2 biler.

.

Kim Bygum

Tauno, på det tidspunkt du vælger en dør er der 1/3 sandsynlig for at du vælger den med bilen. Uanset hvad viden du får efterfølgende er valget sket, og sandsynligheden for at du HAR VALGT bilen er for altid 1/3. Også selv om du får åbnet alle dørene

Hans Dybkjær

som jeg forstod opgaven, så kan man vælge om i anden runde


Korrekt. Men det er kun første valg der er tilfældigt. Hvis du ser i forsøgsbeskrivelsen, er strategien i trin iv ikke tilfældig. Jeg har på forhånd formuleret, inden værten overhovedet placerer bilen, at jeg altid vil vælge værtens dør. Det er altså to forskellige slags valg. Der står ikke i opgaven at du er tvunget til at kast en mønt anden gang.

Prøv at regne på sandsynlighederne som om der i opgaven stod at du anden gang altid får værtens dør, altså at der ikke er noget andet valg. Sandsynlighedsmæssigt er det helt ækvivalent med at jeg udnytter mit frie andet valg til altid at vælge værtens dør.

Det er lidt som et trylleshow. Værtens eliminering af en gadedør og værtens nye spørgsmål tjener begge mest til at bortlede opmærksomheden fra at din oprindelige sandsynlighed for en gededør var og er 1/3 (for at du kan få 2/3 chance for bil ved at skifte, er det dog nødvendigt at værten udpeger det eneste andet sted bilen kunne være).

Michael Weber

...det er en og kun en stokastisk proces efterfulgt af en manipulation...

Rent intuitivt vil de fleste nok opfatte, at på et tidspunkt træffer man et valg, tiden går og man får resultatet hvorefter man så - på et nyt tidspunkt - står i en ny situation.

Så når du skriver:
...det er en og kun en stokastisk proces efterfulgt af en manipulation...

Så er det måske lidt som at sige at der er kun et tidspunkt...og efter det tidspunkt laves en manipulation, men man er stadig på det oprindelige tidspunkt.
Altså efter et tidspunkt er man stadig på samme tidspunkt.
Så jeg tror det er tiden, der er problemet - sådan forståelsesmæssigt set.
Nu er det jo heller ikke voldsomt intuitivt, at tiden står stille mens den går.
:)

Bent Jensen

Der er en afhængehed mellem det første og det andet valg. Som gør sansynligheden for at vinde større, ved at vælge en anden låge. .

Når man har valgt første gang, har værten kun 2 låger at vælge i mellem.
Hvis du har valgt galt i første omgang, og ikke har valgt bilen, så kan han kun åbne den forkerte låge, men hvis ikke så han kun mulighed for at fjerne en falsk låge for dig. Det betyder at sansynligheden for at den anden låge er mere rigtige, i anden valg. Da den jo er "testet" ikke forkert en gang, det er den låge du selv har holdt på i første omgang ikke.
Derfor er det bedre at vælge en låge som værten ikke vil (kan) vælge.

Tauno Suikkanen

"Når man har valgt første gang, har værten kun 2 låger at vælge i mellem.
Hvis du har valgt galt i første omgang, og ikke har valgt bilen, så kan han kun åbne den forkerte låge, men hvis ikke så han kun mulighed for at fjerne en falsk låge for dig. Det betyder at sansynligheden for at den anden låge er mere rigtige, i anden valg. Da den jo er "testet" ikke forkert en gang, det er den låge du selv har holdt på i første omgang ikke."

...hvis jeg havde lidt benzin penge, ville jeg køre ned og vække et par af mine børnebørn :-)
Jeg har nok ikke ret, men jeg kan ikke se
1) hvordan kan værtens valg påvirke mit valg ?
2)værten fjerner en ged. Det er en information, der øger min chance fra 1/3 til 1/2 Hvorfor til 2/3 ?
Jeg kan ikke se, hvorfor første valg ikke fører til en ny situation med to låger - bil/ged uden yderligere information. Værten laver det set-up. Han "fjerner" en ged.

Du forklarer fint :-) Men da jeg lærte sandsynlighedsregning i ½ 70-erne, var kilden til alle fejl lange forklaringer.
Dog, så er jeg sikker på at vi kun fik "lette" opgaver.

Men, altså, lange forklaringer ok....Meeenn.

Hvis jeg skal prøve at være kritisk, så kan jeg ikke komme til:"Det betyder at sansynligheden for at den anden låge er mere rigtige, i anden valg. Da den jo er "testet" ikke forkert en gang"

Jo, vi kommer fra tre låger til to låger.

Kim Bygum

Korrekt. Men det er kun første valg der er tilfældigt.

Mja ... det er sådan set kun bilens placering der er tilfældig (ukendt). Det er DIG der vælger, og det ændrer ikke noget hvis du altid vælger dør 1 først.

Det er implicit givet, at værten placerer bilen bag en af de tre døre med lige stor sandsynlighed (1/3).

Det er i øvrigt også ligegyldigt, hvilken dør værten vælger at åbne, hvis begge de lukkede døre er geder.

Tauno Suikkanen

Så har jeg da forstået lidt :-)
Så skal jeg bare have fat i hvordan jeg kan vide at "anden låge" har 2/3 chance.
Altså, vi har samme situation, hvor jeg har 1/2 og 2/3 chance. Forskellen er om jeg holder hånden i lommen eller ikke ?

Kim Bygum

Tauno, lav nu det forsøg! Du skal kun slå med terningen én gang pr. iteration (for at placere bilen), og så vælge låge nr. 1. Tæl op hvor mange gange du vinder bilen ved at fastholde låge 1, og hvor mange gange du vinder ved at vælge om, og vælge den låge der er tilbage efter værten har afsløret en ged bag låge nr. 2 eller 3.

Hvis du insisterer på at vælge en tilfældig låge hver gang (i stedet for nr. 1) skal du lave to terningkast pr. iteration, men det ændrer ikke på udfaldet.

Hans Dybkjær

kun ser to lukkede låger


To låger betyder ikke at der er 50% sandsynlighed for hver af dem.
Antag en ny quiz hvor der er to døre og værten placerer en bil bag en tilfældig af dem.
Nu skal du gætte: du har 50-50 chance.
Men nu fortæller værten dig at han lavede det tilfældige valg ved at slå med en terning, og lod 1,2 -> dør A, mens 3,4,5,6 -> dør B.
I den situation er det forhåbentligt klart du bør vælge B?

Det ligner meget det oprindelige problem: Der var tre døre, A,B,C. 33% chance for hver af dem. Men forløbet har gjort at B,C er slået sammen til en dobbeltdør, du ved der er en ged, men der kunne gemme sig en bil. Så nu har du valget mellem A (33%) eller B,C (2*33%).

Tauno Suikkanen

...går lige og tænker på hvad jeg skal bruge til de tre døre i opstillingen. Så går der lidt ingeniør i mig. Hvorfor ikke bare nøjes med to, når jeg alligevel bare skal vende en som "kendt" - den kan jeg godt abstrahere mig til.

@Hans Dybkjær. Det er netop det, jeg ikke lige forstår. Hvorfor slås 3,4,5,6 sammen og ikke 1,2,3 og 4,5,6 ?
1,2 er jo nøjagtig lige så kendt/ukendt som 3,4 ?
Jo, jeg ved at der en bil/ged bag den først valgte. Det gælder vel også den resterende, som jeg ikke har valgt ? Den sidste (værtens valg) er vi enige om er en ged.

Så nu forstår jeg hverken resultatet eller hvordan jeg skal udføre forsøget :-(

Det virker lidt som jeg misforstår opgaven.

Jan Nielsen

@Tauno

Opgaven er at lokalisere gederne - og ved man, hvor gederne er, er det ikke svært at vælge bilen.

Dit første (og reelt eneste) valg vil med 2/3 sandsynlighed resultere i en ged. At værten efterfølgende åbner en låge med en ged bag ændrer ikke denne sandsynlighed. Du har altså med 2/3 sandsynlighed valgt en ged og ved 100%, hvor der ikke er en bil. Ergo ............

Finn Glamhøj

@Tauno
Jeg ved ikke om det hjælper på forståelsen, men nedenstående tabel har hjulpet mig med at forklare sammenhængen til andre der ikke umiddelbart kunne se hvorfor det giver mening at skifte dør efter værten har åbnet en dør med en ged bagved.

Dør Bil/Ged Sandsynlighed Valg Sandsynlighed Valg Bil/Ged Sandsynlighed
1 ? 1/3 Dit 1/3 ? 1/3
2 ? 1/3 \ ? 2/3
> 2/3
3 ? 1/3 / Vært Ged

Der er 1/3 sandsynlighed for at der er en bil bag hver af de 3 døre.
Efter man har valgt en dør er der stadigvæk 1/3 sandsynlighed for at bilen er bagved den valgte dør, men der 2/3 sandsynlighed for at bilen er bagved en af de 2 andre døre.
Nu vælger værten at åbne den ene af de 2 andre døre og bagved den dør værten åbner er der en ged.
Der stadigvæk 2/3 sandsynlighed for at bilen er bagved de 2 andre døre, men nu ved vi hvilken en af dem det ikke er og derfor er der 2/3 sandsynlighed for at bilen er bagved den dør værten ikke åbnede.
Jeg håber det hjælper.

Tauno Suikkanen

Så fik jeg gjort forsøget - og er blevet klogere.
Første valg giver 2/3 chance for ged - værten skal i disse tilfælde fjerne den anden ged og nu er det i disse 2/3 tilfælde kun bilen som ikke er udpeget - derfor skal man skifte for at opnå 2/3 vinder chance. I 1/3 af tilfældene vil det lige så sikkert gå galt at skifte.
Ved at foretage et tilfældigt valg mellem de resterende låger vil vinder chancen blive 1/2.

Men ja, 2/3 er at foretrække. Så strategien er, at man har 2/3 chance for at vælge ged og det skal man søge at ændre.

Tak for hjælpen.

Tauno Suikkanen

Måske fik jeg ikke udtryk det tydeligt nok.
Jeg gik fejl i ikke at anderkende betydningen af første valg - holdt fast i fifty-fifty anden gang.
Det har flere vist skrevet. Men jeg skriver for andre, der ikke har gjort forsøget.

Benny Christensen

Jeg så et andet sted (youtube kommentarer?) argumentationen udvidet til at omfatte 100 døre, 99 geder og 1 bil - alt andet uændret - dvs. værten afslører de 98 geder efter at du har valgt. Følger man ovenstående ræsonnement, og skifter til den anden dør med 99% gevinst chance!!

Kan det mon os' pas' ? Her står min logik af.

PS: undrer mig lidt over at ingen har refereret til Kvantemekanik og kollaps af bølgefunktionen ("probability-amplitude ") ved afsløringen af "værtens geder".
PPS: Einstein påstod jo at "Gud spiller ikke med terninger".

Tauno Suikkanen

Sådan havde min logik det også. Jeg så på det sidste valg, hvor der jo stadig er 50% chance med et tilfældigt valg.
Men i første valg har du kun 1% chance for at ramme og så er der 99% chance for at bilen er bag en af de andre låger - og når så værten fjerner de 98....
Det var netop terninger jeg brugte - tre styk til de tre låger og en til at vælge tilfældigt med. Men jeg er jo heller ikke gud :-)

Benny Christensen

@ Finn, Tauno

Tabellen er fin, men jeg synes, den mangler den forklaring, der fik mig til indse logikken - efter at have læst de 2 links: " Inddel dørene i 2 grupper: G1: den dør, som vælges i første omgang med 1/3 gevinst sandsynlighed. G2 består af de andre (2) døre med en samlet P(bil) = 1/3+1/3. Når værten åbner døre uden gevinst, 'opererer' vi kun indenfor G2 med den tilførte information. Hvis bilen tilhører G2 (2/3) og den ikke er bag værtens dør(e), er den bag den sidste dør med 100% sikkerhed (betinget sandsynlighed - Baye's rule). Så sandsynligheden for gevinsten bag de resterende døre i G2 akkumuleres efterhånden som mulige udfald i G2 'skrumper'. "
Så et skift i strategi øger chancen fra 1/3 til 2/3 - eller generelt (N-1)/N.
Derimod, en person som kun 'ser' 2. halvdel af quizzen, vil sige 50/50. Men selv her vil et skifte af strategi, ikke forringe chancerne for gevinst.

PS: 50/50 i 'Hvem vil være millionær' er jo reelt en 100% rigtig svar udvælgelse, hvis man blot kan udpege eet forkert svar blandt de 4 mulige svar. Hvis man vælger den åbenbare forkerte svar og lader komputeren fjerne yderligere 2 forkerte svar, er der kun det rigtige svar tilbage. Skift strategi!. Men det kræver, at man bevidst vælger det forkerte svar (imod al sund fornuft / intuition) i første omgang når man bruger denne livline. Til gengæld er den 100% 'vandtæt'.

Log ind eller opret en konto for at skrive kommentarer